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title: ソリトン

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## はじめに

　KdV方程式などの背後にある対称性を論じる。
 
## 浅水波

浅い水路の水面には形を保った波が起こることが知られている。これはKdV方程式に従うと考えられている。

$$
{∂u\over ∂t} + 6 u {∂u\over ∂t} + {∂^3 u\over ∂x} = 0
$$

この方程式には、次のような解がある。

$$
u(x,t) = {c\over 2}sech^2({\sqrt{c}\over 2}(x -ct))
$$

ただし、$c$ は定数であり、速度を表す。
（これより、波高が高い波の方が速いことがわかる。）
![](https://hackmd.io/_uploads/rkq-ylJp2.jpg)
ここで、
$$
\begin{matrix}
\displaystyle sinh\hspace{2pt}x = {e^x - e^{-x}\over 2}\\
\displaystyle cosh\hspace{2pt}x = {e^x + e^{-x}\over 2}\\
\displaystyle sech\hspace{2pt}x = {1\over cosh\hspace{2pt}x}\\
\displaystyle cosech\hspace{2pt}x = {1\over sinh\hspace{2pt}x}
\end{matrix}
$$
を使った。

## 微分作用素の理論

$x$ の関数 $g$ に次のように作用する微分作用素 $∂$、$∂^{-1}$ を考える。
$$
\begin{matrix}
∂g = (∂g) + g∂\\
∂^{-1}g = g∂^{-1} - (∂g)∂^{-2} + (∂^2g)∂^{-3} - \cdots
\end{matrix}
$$
すなわち、$∂$ は $\displaystyle {∂\over ∂x}$ のことで、$∂^{-1}$ はその逆である。

$$
X = ∂ + f_{-1}∂^{-1} + f_{-2}∂^{-2} + \cdots
$$

$$
\begin{matrix}
X^2 = ∂^2 + ∂f_{-1}∂^{-1} + f_{-1} + ∂f_{-2}∂^{-2}  + f_{-2}∂^{-1} + f_{-3}∂^{-2} + \cdots \\
f_{-1} + f_{-1}(f_{-1}∂^{-2} + \cdots) + ∂f_{-2}∂^{-2}  + f_{-2}∂^{-1} + \cdots\\
=  ∂^2 + 2f_{-1} + (∂f_{-1}+2f_{-2})∂^{-1}+\cdots
\end{matrix}
$$
$$f_{-1} = u, 　∂f_{-1} + 2f_{-2} = 0,　 \cdots$$



このように定義すると、たとえば、

$\displaystyle　　P = ∂^2 + u$

$\displaystyle　　X^2 = P$

を $P$ について解くことができる。

$\displaystyle 　　X = ∂ + \frac{1}{2}u∂^{-1} - \frac{1}{4}(∂u)∂^{-2} + (\frac{1}{8}(∂^2u) - \frac{1}{8}u^2)∂^{-3} + \cdots$

$X$ について $∂$ の正べきのみを取る操作を $(X)_+$ と書くと、たとえば、

$\displaystyle　　 (X^3)_+ = ∂^3 + \frac{3}{2}u∂ + \frac{3}{4}∂u$

となる。この $X$ を $P^{1/2}$ 、この$(P^{3/2})_+$ を使うと KdV 方程式が次のように書ける。

$\displaystyle　　 \frac{∂P}{∂t} = [(P^{3/2})_+, P]$

ここで、$[A, B] = AB - BA$ という記法を使った。
この仕組みを使うと、無限個の変数 $x_l$ に対する無限個のソリトン方程式を作ることができる。

$\displaystyle　　(P^{l/2})_+ = B_l$
$\displaystyle　　 \frac{∂P}{∂x_l} = [B_l, P]$

この方程式は広田の方法などで解くことができるが、KdV方程式はこの中に含まれるので、KdV方程式の解を求めることもできる。

## 多ソリトン解

前節の方程式は
$u = 2∂^2 log τ$
という形に書かれる。
そして、この $τ$ に適当な関数を入れることで、KdV方程式の解が得られることが示される。
たとえば、$τ = 1$ とすると、$u = 0$ という自明な解になる。

$\displaystyle　　 τ = 1 + c_1e^{2kx + 2k^3t}$

とすると、最初のソリトン解になる。これは、山が1つのみの解であり、1ソリトン解ともよばれる。

$\displaystyle　　 τ = 1 + c_1e^{2k_1x + 2k_1^3t}  + c_2e^{2k_2x + 2k_2^3t} + c_1c_2\frac{(k_1 - k_2)^2}{(k_1+k_2)^2}e^{2(k_1+k_2)x + 2(k_1^3+k_2^3)t}$

とすると、2ソリトン解になる。
同様に多ソリトン解を構成することができる。


$\displaystyle　　u ≒ {c\over 2}sech^2({\sqrt{c}\over 2}(x -ct)) + {c'\over 2}sech^2({\sqrt{c'}\over 2}(x -c't))$

$\displaystyle sech\ x = \frac{２}{e^x+e^{-x}}$

$\displaystyle \frac{∂}{∂x_1}u = u_x$
$\displaystyle \frac{∂}{∂x_3}u = \frac{3}{2}uu_x + \frac{1}{4}u_{xxx}$
