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tags: FRM
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# Finance Risk Managment
[Market Return](https://www.nerdwallet.com/article/investing/average-stock-market-return) - 買入市場指數
[預期報酬](https://wiki.mbalib.com/zh-tw/%E8%82%A1%E7%A5%A8%E9%A2%84%E6%9C%9F%E6%94%B6%E7%9B%8A%E7%8E%87) - CAPM 資產定價
[Expected Return](https://www.stockfeel.com.tw/%E6%8A%95%E8%B3%87%E8%82%A1%E5%B8%82%E6%99%82%E5%A6%82%E4%BD%95%E8%A8%88%E7%AE%97%E5%90%88%E7%90%86%E7%9A%84%E9%A0%90%E6%9C%9F%E6%8A%95%E8%B3%87%E5%A0%B1%E9%85%AC%E7%8E%87%EF%BC%9F/)
[Correlation](https://www.macroaxis.com/invest/marketCorrelation)
$E(R_{i}) = R_{f} + \beta * [E(R_{m}) - R_{f}]$
* CAPM 看的是無法被分散的系統性風險

組投組是希望能夠分散非系統性風險，所以用過去歷史資料來回測
Daily Return 是當天的 Adj close - 前一天的 Adj close

## 作業
找兩檔國內外的股票進入投組，Email 給老師
* Expected Return
* Standard Deviation
* 利用??方法最大化 Expected Return, 最小化 Std Dev
## Risk overview
### Risk Process
1. Identify the risk
2. Quantify and estimate the risk
3. Determine the collective effects of the risk exposures
4. Develop a risk mitigation strategy
5. Assess the performance
### Quantitative Measures
**VaR**
> Value at risk

A certain loss amount and its probability of occuring。在短時間以及流動性正常的市場環境下，可能發生的損失數目以及機率。
e.g one-day VaR of $ 2.5 millions at 95% confidence level。
一天之內發生超過 250 萬以上損失的機率小於 5%，
### Risk Classes
* Market Risk
* [Interest Risk](https://www.masterhsiao.com.tw/CatBonds/RiskOfInterest/RiskOfInterest.php)
利率風險是指靠債券賺取固定金額的風險。如果市場利率提升(Market Interest)則債券利率就會下跌(Bond Interest)(Unexpected)
* Equity Risk
1. 系統性風險(不可分散)
市場整體無法預測的變化
2. 非系統性風險(可分散)
標的特殊風險 $\beta$
* Foreign Exchange Risk
無法預期的匯率差距，容易導致損失
* Commodity Risk
原物料籌碼過於集中，莊家能夠哄抬價格，導致價格波動率很大。
* Credit Risk
* Default Risk
違約風險，到期交不出錢
* Bankruptcy Risk
破產風險，流動性不足，喪失還款能力。(Default 是到期沒錢，Bankruptcy 是整個都沒錢)
* Downgrade Risk
降級風險(Publicly traded)
* Settlement Risk
交割風險，在執行交易的當下有可能因法律或對方反悔等無法完成交割。(Cash Exchange)
* Liquidity Risk
* Funding liquidity risk
指法人無法支付或是融資相關現金需求
* Trading liquidity risk
無法買賣變現，如果無法在想要的價格即時賣出，最後可能需要降價求售，造成巨大損失。
## Efficient Portfolio
[Efficient Protfolio](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E7%8E%B0%E4%BB%A3%E6%8A%95%E8%B5%84%E7%BB%84%E5%90%88%E7%90%86%E8%AE%BA)

* Expect Return is Weight Average Return
* $E(R_{p}) = w_{1}E(R_{1})+w_{2}E(R_{2})$

### SD and Var
[what-difference-between-standard-deviation-and-variance](https://www.investopedia.com/ask/answers/021215/what-difference-between-standard-deviation-and-variance.asp)
* $Variance$ 變異數 (二次方)
* $Standard\ Deviation$ 標準差 (開根號)

都是在形容一組數據的離散程度

$Var = 1/N * \Sigma_{i=1}^{N}(X_{i} - \bar X)$
$SD = (1/N * \Sigma_{i=1}^{N}(X_{i} - \bar X))^{1/2}$

母體標準差用 N ，樣本標準差(也就是無法蒐集全部的數據)用 n - 1
### Portfolio Construction

#### Two Asset Portfolio variance

$\sigma_{P}^2 = w_{1}^2\sigma_{1}^2 + w_{2}^2\sigma_{2}^2 + 2w_{1}w_{2}Cov_{1,2}$
Correlation $\rho = Cov_{1,2} / \sigma_{1}\sigma_{2}$
$\sigma_{P}^2 = w_{1}^2\sigma_{1}^2 + w_{2}^2\sigma_{2}^2 + 2w_{1}w_{2}\rho_{1,2}\sigma_{1}\sigma_{2}$

Correlation 就是在形容投組內標的的連動性。

Portfolio 在兩個標的有著不同持有比例的情況下，會產生許多種可能的 Expected Return 以及 Standard Deviation，可以從這些可能畫出 portfolio possibilities curve。


MVP = 最小變異數的 Portfolio 也就是 Curve 最左邊的點
* Concave 凸函數 (Above MVP)
* Convex 凹函數 (Below MVP)

#### Correlation and Curve
* Perfect Positive Correlation
* $\rho = 1$
* $\sigma_{p} = w_{1}\sigma_{1} + w_{2}\sigma_{2}$
* 標的A 跟 標的B 動向完全相同，成為一條直線，想要越多報酬則必須承受越多風險，無分散作用
* Perfect Negative Correlation
* $\rho = -1$
* $\sigma_{p} = w_{1}\sigma_{1} - w_{2}\sigma_{2}$
* 完全負相關的標的是兩條斜率正負不同的直線，有機會組成無風險資產($\sigma_{p}=0$)，因為動向能夠相消。
* Zero Correlation
* $\rho = 0$
* $\sigma_{p} = (w_{1}^2\sigma_{1}^2 +w_{2}^2\sigma_{2}^2)^{1/2}$
* 非線性，能夠分散風險，而且永遠都會有風險

相關性越低，分散風險的效果越好。
#### Efficient Frontier
[Efficient Frontier](https://threeroomlight.com/3304/)
在效率前緣上的組合稱為 Efficient portfolio
* Minimum risk with same expected return
* Maximum expected return with same risk (On the curve)

當作空風險資產時，能夠獲得較高的報酬，但同時波動度也會增加，因此效率前緣會向右擴大
#### Capital Market Line
[Capital Market Line](https://threeroomlight.com/3278/)
* CML is a special case of the CAL where the risk portfolio is the market portfolio. Thus, the slope of the CML is the sharpe ratio of the market portfolio.
* As a generalization, buy assets if sharpe ratio is above CML and sell if sharpe ratio is below CML.
* The intercept point of CML and efficient frontier would result in the most efficient portfolio called the tangency portfolio.

上述 portfolio 只有提到風險資產，當加入無風險資產後就會從曲線變為直線。因為報酬與變異數的關係變成線性。

假設所有投資者對所有的風險資產都有相同的預期風險以及回報

CML 與原本效率前緣的切點即為 Market Portfolio

投資者會買入市場組合+無風險資產。風險趨避會借出(lending)，風險愛好會借錢(Borrowing)

## CAPM
CAPM 基於市場風險(Systematic Risk)也就是 Beta 用來衡量資產的預期報酬。
如果 CML 假設成立，則投資者的最佳選擇就是基於市值來決定占比的 Market Portfolio。

CML 的斜率即為 Market Portfolio 的 Sharpe Ratio

$E(R_{p}) = R_{F}+|(E(R_{m})-R_{F})/\sigma_{M}| * \sigma_{P}$

$Sharpe\ Ratio = (E(R_{m})-R_{F})/\sigma_{M}$

### Beta
Beta 代表該資產的回報以及市場回報的變動關係，如果市場報酬 1% 資產報酬 1.1% 則該資產的 beta 則為 1.1 反之亦然。

$\beta = \rho_{i, m} * \sigma_{i}/\sigma_{m}$

$\beta = Cov_{Asset\ and\ Market}/\sigma_{Market}^2$

$\beta_{p}$ = $w_{1}\beta_{1}+w_{2}\beta_{2}+w_{3}\beta_{3}$

### CAPM
$CAPM = R_{F}+\beta_{i}[E(R_{m})-R_{F}]$


SML 是 CAPM 的圖像化，SML的橫軸為 $\beta$ 代表只注重於系統性風險，CML的橫軸為 $\sigma$ 代表注重於系統與非系統性風險。SML 的斜率為 $(R_{M}-R_{F})/\beta(=1)$，所以也就等於市場風險溢酬。
若該資產有被正常定價，則其應該會落在 SML 上(斜率相同)。
CAPM 的 Return 是投資者願意去接受的最低報酬。
* 高估價值的資產 = 預期報酬比應得報酬率少 = 所以會落在 SML **下方**
* 低估價值的資產 = 預期報酬比應得報酬率多 = 所以會落在 SML **上方**
## Single Index Measure Performance
* **Treynor measure**
* Risk Premium divided by beta
* 風險溢酬除以系統性風險
* $|(E(R_{P})-R_{f})/\beta_{P}|$
* 專注於系統風險(無法迴避)
* **Sharpe measure**
* Risk Premium divided by standard deviation
* 風險溢酬除以標準差
* $|(E(R_{P})-R_{f})/\sigma_{P}|$
* 專注於整體風險(能迴避非系統性風險)
* If Sharpe Ratio < Treynor Ratio => Not well diversified
* **Jesen measure**
* Asset's excess return over the CAPM
* 超額回報
* $\alpha_{P} = E(R_{P})-CAPM_{P}$

多數人使用 Sharpe measure，因為他考量整體風險。如果是足夠分散的投資組合的話， Treynor measure 會是比較好的選擇，因為他考量系統性風險。

* **Tracking Error**
* 實際回報以及判斷基準的差值的標準差
* $\alpha_{1}\ \alpha_{2}\ \alpha_{3}\ \alpha_{4}....$ 計算這一串的標準差
* **Information ratio**
* Alpha 除以 追蹤誤差
* $\alpha / \sigma_{e_{p}}$
## Arbitrage Pricing Theory
* Law of one price : idnetical asset selling in different location should be priced identically, if not, there exist an arbitrage opportunity.
* 相同資產在不同地點交易應該要成交相同價格，若否則存在套利機會。
* 如果資產承受風險相同，預期報酬也應該要相同。
* $E(R_{A}) = 0.12$
* $E(R_{B}) = 0.10$
* $\beta_{A,GDP} = \beta_{B,GDP}$
* $\beta_{A,CS} = \beta_{B,CS}$
* 上述AB資產承受風險相同，預期報酬卻不同，因此存在套利機會進而規避 GDP 以及 CS 風險
* 做多預期回報較高的 A 做空預期回報較低的 B
### Single Factor SML
* 若 single factor 只有 market index 的變動，則 Portfolio 應該落在 Single Factor SML。
* 這條線的存在假設為，證券回報能用 single factor model 描述並且能夠創造足夠分散的投資組合，也不存在套利機會。
### Hedging Multiple Factors
* 與希望規避的風險對作，兩者即可相消
* 若避險投組之預期回報與源投組不同，則存在套利機會。
* 作多$R_{f}$ = 借錢給別人
* 作空$R_{f}$ = 向別人借錢
### APT model
$E(R_{i}) = R_{F} + \beta_{i1}[E(R_{1}) - R_{F}] + \beta_{i2}[E(R_{2}) - R_{F}] + \beta_{i3}[E(R_{3}) - R_{F}]$
* Well - diversified portfolios can be formed
* No arbitrage opportunities exist

# Final Exam
## Q1 Risk
* Foreign exchange risk
* Operation risk
在這起事件中，Barings PLC and Allied Irish Bank 的外匯交易者 John Rusnak 因為欺詐交易讓該銀行蒙受鉅額損失。Rusnak 在日幣上積極作多，而因為他過於自信，認為日幣能夠跟隨當時的日本經濟環境迎來一波漲勢，因此他買入 call option 鎖定日幣的買價，且並未對日幣的多頭部位進行足夠的避險。因此因為亞洲政局的影響，日幣並如 Rusnak 所想的起漲，而又無進行反向避險因此他讓 Barings PLC and Allied Irish Bank 大量損失。
但 Rusnak 打算自行修補他犯下的錯誤，於是他新增假的選擇權部位，試圖讓銀行沒有察覺他的過錯，並且持續在日幣上下注。隨著賭注越來越多，Barings PLC and Allied Irish Bank 在 Forex 上所持有的財產也越來越多，而最後在銀行要求 Rusnak 減持外匯部位時才發現這位交易者造成的損失。
我認為這牽涉到兩大 Risk 一是外匯風險， Rusnak 沒有注意到匯率與政局的變化，導致看錯方向。過於自信不做避險導致巨額虧損。
第二 Risk 是營運風險，銀行端的制度系統產生漏洞，允許交易者持續使用金錢在某特定市場而無法實際反映該交易者的部位狀況，所以才會產生假的選擇權部位去欺騙銀行端。
## Q2 GARCH
The square-root rule
let
$V_{t} = V_{t-1} + e_{t}$，$e_{t}$ 為 i.i.d
一天回報為
$V_{t} - V_{t-1} = e_{t}$
在標準差為 $\sigma$ 的情況下， h 天的回報為
$V_{t} - V_{t-h} = \Sigma^{h-1}_{i=0} e_{t-i}$
變異數為 $h\sigma^2$
標準差為 $\sqrt{h}\sigma$
此時 square-root rule 才會成立。
而 GARCH(1, 1) model 認為波動度具有 mean - reverting 的特性，因此加入 $\omega = long-run\ variance$ 的參數，並且其 model 的波動度具有 autocorrelated 的關係，每個結果都與上一個結果有關，因此會與 square-root rule 的條件(i.i.d)相衝突。
而根據題意，一開始的變異數是高於平均值的，所以 GARCH model 會傾向逐漸預測靠近長期平均的變異數。而 square-root rule 並無考慮到均值回歸，每天的變異數都是獨立且無關的，這會造成變異數都會維持在高於平均值。因此 simple rule 高機率會 over-estimate voaltility
## Q3 EWMA
波動度分為歷史以及隱含波動度，觀察歷史波動度會傾向認為歷史是會重複並且具有預測未來的能力。而隱含波動度則認為歷史不具有任何影響，由市場決定。這題將注重於 $EWMA\ model$ 的解析。

通常歷史波動度都從兩個步驟進行

1. 計算歷史回報
2. 加入權重

* the price today divided by price yesterday, and so on
* 為了減少高股價的影響，因此需要取自然對數

$u_{i} = ln(s_{i}/s_{i-1})$

* the simple variance is the average of the squared returns
* 常用計算 VAR 的方式是
$\sigma^2_{n} = 1/m * \Sigma_{i=1}^{N}u_{n-1}$

用這種方式會造成過往的所有交易日對今天波動度的影響都是一樣的，因為是用平均權重進行計算。EWMA model 的產生是因為相信越靠近的回報對未來的回報的影響程度越高，意思就是昨天的回報對明天回報的影響比一個月的還要大。為了在數學上產上此意義，EWMA 引入平滑參數 $\lambda$，越久之前的資料會獲得越低的權重。
以 decay factor 為 0.94 來進行計算，最靠近的報酬權重為 $(1-0.94)(0.94)^{0} = 6\%$，遠一天的權重會變為 $(1-0.94)(0.94)^{1} = 5.64\%$。這樣確保變異數會偏向日期靠近的回報。

$\sigma^2_{n} = \lambda \sigma^2_{n-1}+(1-\lambda)u^2_{n-1}$

由於 EWMA 有遞減的特性，因此 EWMA 的變異數能夠寫成如上述一樣的遞迴式。今天的變異數是前一天的變異數乘上 decay factor($\lambda$) 加上 (1-$\lambda$)倍的回報平方，因為第 $n$ 天的變異數組成只有前一天的變異數+前一天的回報，所以權重是 $\lambda$ + (1-$\lambda$) 相加為一。

## Q4 Duration hedge
* Interest rate risk
* Duration risk
Duration-hedge 是要作債券的存續性避險，所謂債券的 duration 就是你所持有的債券與利率的變化相關程度，若 duration 越高代表利率的漲跌會更大程度的影響所持有的債券。而跟債券最相關的 interest rate 若上升，則會造成債券價格下跌，此時 portfolio 應該要持有美國國債的空頭部位，來去規避利率的波動風險。
因此 portfolio 加入國債期貨是為了規避存續性以及利率風險。

Fixed income portfolios may be vulnerable to a rise in interest rates due to the
duration risk embedded in bond markets

## Ref
[Q4 JPM](https://am.jpmorgan.com/blob-gim/1383252048433/83456/Investment-Insights-Duration-hedged-share-classes1.pdf)
[Q4 Duration risk](https://www.finra.org/sites/default/files/InvestorDocument/p230297.pdf)
[Q4 Fixed income]