# 數學（二）
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# 單元三：排列組合與機率
## 3-2 排列(Permutation)
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### 主題一　全部不同物品的排列

#### 1. 階乘：
規定符號
$$ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1, $$
讀作「$n$ 階乘」**(the factorial of n)**
也規定 $0! = 1$。

#### 2. $n$ 個不同物品的排列：
將 $n$ 個不同物品排成一列，有
$$ n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times 2 \times 1 $$
種方法。
>**The permutation of n distinct items**

#### 3. $n$ 個不同物品選出 $k$ 個排列：
令 $P_k^n$ 表示從 $n$ 個不同物品中選出 $k$ 個（$0 \leq k \leq n$）排成一列的方法數，則
$$
P_k^n = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \cdots \times (n - k + 1)
= \frac{n!}{(n - k)!},
$$
>也可記為 $P(n,k)$，**(Permutation of n taken k)**
>**The number of ways to arrange k items from a set of n distinct items where order matters.**

另外，規定 $P_0^n = 1$。

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### 主題二　含有相同物品的排列

設 $n$ 個物品分成 $k$ 類，每類各有 $m_1, m_2, \dots, m_k$ 個
（每類中的物品相同且 $m_1 + m_2 + \cdots + m_k = n$），
則這 $n$ 個物品排成一列有

$$
\frac{n!}{m_1! \, m_2! \, \cdots \, m_k!}
$$

種方法。

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### 主題三 🌿 重複排列(Permutation with Repetition)

(1) 所排列的物品是**可以重複使用**，且重複次數不限的排法，稱為**重複排列**。

(2) 從 $n$ 種物品中取出 $k$ 個（每種物品都至少有 $k$ 個），物品可以重複出現的排列有 $n^k$ 種方法。

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