# 數學（一）
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# 單元四：直線與圓
## 4-3 圓與直線的關係
### 主題一：圓的定義與方程式

(1) 圓的定義：

平面上到一定點等距離的所有點形成的圖形稱為**圓**，該定點稱為**圓心**，圓心與圓上任一點的距離稱為**半徑**，如右圖。

(2) 圓的標準式：
圓心為 $A(h, k)$，半徑為 $r$ 的圓方程式為：
$$
(x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2
$$

(3) 圓的一般式：
* 將標準式展開後的二元二次方程式，此稱為圓的一般式，形如：
$$x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$$

* 將圓的一般式分別對 $x, y$ 配方，得：
$$\left( x + \frac{d}{2} \right)^2 + \left( y + \frac{e}{2} \right)^2 = \frac{1}{4} \left( d^2 + e^2 - 4f \right)$$

(4) 二元二次方程式 $x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$ 的圖形：
* 當 $d^2 + e^2 - 4f > 0$，則圖形為**一圓**，圓心為：
$\left( -\frac{d}{2}, -\frac{e}{2} \right)$, 半徑為 $\frac{1}{2} \sqrt{d^2 + e^2 - 4f}$。

* 當 $d^2 + e^2 - 4f = 0$，則圖形為**一點**，此點為$\left( -\frac{d}{2}, -\frac{e}{2} \right)$

* 當 $d^2 + e^2 - 4f < 0$，則沒有圖形。

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### 主題二：圓與點的位置關係

給一圓 $C: x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$，圓心為 $A$，半徑為 $r$，與一點 $P(x_0, y_0)$。

(1) **點 $P$ 在圓內**：
$\overline{PA} < r$，如圖(一)，此時可得：
$$ x_0^2 + y_0^2 + dx_0 + ey_0 + f < 0$$

(2) **點 $P$ 在圓上**：
$\overline{PA} = r$，如圖(二)，此時可得：
$$ x_0^2 + y_0^2 + dx_0 + ey_0 + f = 0$$

(3) **點 $P$ 在圓外**：
$\overline{PA} > r$，如圖(三)，此時可得：
$$ x_0^2 + y_0^2 + dx_0 + ey_0 + f > 0$$


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### 主題三：圓與直線的關係

(1) 平面上一個圓與一條直線的關係，有下列三種情形：

* **交於兩點**： 圓與直線交於相異兩點，此時直線稱為圓的割線，如圖(一)。

* **相切**： 圓與直線交於一點，此時直線稱為圓的切線，交點稱為切點，如圖(二)。

* **不相交**： 圓與直線沒有交點，如圖(三)。


(2) 幾何判別法：

設圓 $C$ 的圓心為 $A$，半徑為 $r$，圓心到直線 $L$ 的距離為 $d$，則 $d$ 與 $r$ 的大小關係有下列三種情形：

* 當 $d < r$ 時，圓 $C$ 與直線 $L$ **交於兩點**，如圖(四)。

* 當 $d = r$ 時，圓 $C$ 與直線 $L$ **交於一點** (相切)，如圖(五)。

* 當 $d > r$ 時，圓 $C$ 與直線 $L$ **不相交**，如圖(六)。

(3) 代數判別法：

設圓 $C: x^2 + y^2 + dx + ey + f = 0$ 與直線 $L: ax + by + c = 0$；若 $b \neq 0$，將 $L$ 化為 $y= -\frac{a}{b}x - \frac{c}{b}$

代入圓 C 可得 $x$ 的二次方程式 $Ax^2 + Bx + C = 0$，由判別式 $D = B^2 - 4AC$ 可以歸納出下列三種情形：

* 當 $D > 0$，二次方程式有兩個相異實根，表示圓 C 與直線 L 交於相異兩點。
* 當 $D = 0$，二次方程式有兩個相等實根，表示圓 C 與直線 L 交於一點（相切）。
* 當 $D < 0$，二次方程式無實根，表示圓 C 與直線 L 沒有交點（不相交）。

>註：當 $b = 0$ 時，則 $x = -\frac{c}{a}$ 代入圓 C，得到 $y$ 的二次方程式，討論過程同上。

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### 主題四：圓的切線

(1) 設 $P(x_0, y_0)$ 是圓 $C: (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ 上的一固定點，直線 L 為過點 P 的切線：

* 切線 L 的斜率為 $-\frac{x_0-h}{y_0-k}$。 因為直線 AP 的斜率為 $\frac{y_0-k}{x_0-h}$，且 AP 垂直 L。
* 切線 L 的方程式為 $$y-y_0=-\frac{x_0-h}{y_0-k}(x-x_0)$$。

(2) 設 $P(x_0, y_0)$ 是圓 $C: (x-h)^2 + (y-k)^2 = r^2$ 外的一固定點：

* 過點 P 的切線有兩條。
* 設過點 P 的切線方程式為 $y-y_0=m(x-x_0)$，利用圓心到切線的距離等於半徑，解得 $m$。
* 若 m 僅得一解，則表示另一條切線為鉛垂線 $x-x_0=0$。

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