# 數學（一）
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# 單元四：直線與圓
## 4-2 直線方程式的應用
### 主題一：二元一次聯立方程組的幾何意義

聯立方程式 $\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1, \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}$ ，

其中 $a_1x+b_1y=c_1$ 代表直線 $L_1$，$a_2x + b_2y = c_2$ 代表直線 $L_2$。
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### 主題二：點到直線距離
(1) 點 $P(x_0, y_0)$ 到直線 $L: ax + by + c = 0$ 的距離為 $$\frac{|ax_0 + by_0 + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$.

(2) 兩平行直線 $L_1: ax + by + c_1 = 0$ 與 $L_2: ax + by + c_2 = 0$ 的距離為 $$\frac{|c_1 - c_2|}{\sqrt{a^2 + b^2}}$$.

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### 主題三：二元一次不等式

(1) 若 $a, b, c$ 為實數，且 $a, b$ 不全為 $0$，則形如
$ax+by+c>0$, $ax+by+c<0$, $ax+by+c\geq0$, $ax+by+c\leq0$
的式子，稱為**二元一次不等式**，滿足不等式的實數對 $(x, y)$，稱為該不等式的解。

(2) 判斷界線實線或虛線：
* **當不等式含等號時**，圖形就包含界線 $L$，此時直線 $L$ 以實線表示。
* **當不等式不含等號時**，圖形不包含界線 $L$，此時直線 $L$ 以虛線表示。

(3) 判斷不等式的解區域：

平面上的一條直線 $L: ax+by+c=0$ 把這個平面分成兩邊，每一邊都稱為半平面。
* 法(一)：
畫出 $L: ax+by+c=0$ 的直線，選取半平面的任一點，代入觀察其符合 $ax+by+c>0$ 或 $ax+by+c<0$，即可找出此半平面對應的二元一次不等式。

* 法(二)：
■ 若$a>0$，則右半平面是 $ax+by+c>0$ 的解的圖形，左半平面就是使 $ax+by+c<0$ 的解的圖形。
■ 若$a<0$，則右半平面是 $ax+by+c<0$ 的解的圖形，左半平面就是使 $ax+by+c>0$ 的解的圖形。

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### 主題四：兩點同側、異側
設直線 $L：ax+by+c=0$ 及兩點 $A(x_1,y_1)$ 與 $B(x_2,y_2)$

(1) 若 $A、B$ 在 $L$ 的同側，則$(ax_1+by_1+c)(ax_2+by_2+c)>0$。

(2) 若 $A、B$ 在 $L$ 的異側，則$(ax_1+by_1+c)(ax_2+by_2+c)<0$。

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