# 數學（一）
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# 單元四：直線與圓
## 4-1 直線方程式及其圖形
### 主題一：坐標圖形的對稱性

(1) 斜率的意義：
* 設直線 $L$ 不是鉛垂線，且 $A(x_1, y_1)$ 與 $B(x_2, y_2)$ 為 $L$ 上兩相異點，則直線 $L$ 的斜率 $$m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}$$
* $L$ 是鉛垂線時，會有 $x_1 = x_2$，分母為 0，所以**不規定鉛垂線的斜率**。
* 斜率從圖形觀點，是評估直線的**傾斜程度與方向**。
* 斜率從函數觀點，是討論 $y$ 值的平均變化率，而直線有固定的變化率。

(2) 斜率的性質：
* **水平線**的斜率為 0。
* **直線由左下往右上傾斜時**，斜率為**正**。
* **直線由左上往右下傾斜時**，斜率為**負**。
* **直線越接近鉛垂線**，其斜率的絕對值也越大。
* **鉛垂線無斜率**。

|斜率定義|斜率變化|
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### 主題二：直線方程式
(1) 點斜式：過點 $A(x_0, y_0)$ 且斜率為 $m$ 的直線方程式為 $$y - y_0 = m(x - x_0)$$

(2)截距：
* 當直線 $L$ 與 $x$ 軸交於點 $(a, 0)$，稱 $a$ 為 $L$ 的 $x$ 截距；
* 當直線 $L$ 與 $y$ 軸交於點 $(0, b)$，稱 $b$ 為 $L$ 的 $y$ 截距。
> 注：水平線沒有 $x$ 斜距，鉛直線沒有 $y$ 截距。

(3) 截距式：設 $a$ 為 $x$ 截距，$b$ 為 $y$ 截距且 $ab \neq 0$，則直線截距式為 $$\frac{x}{a} + \frac{y}{b} = 1$$

(4) 一般式：$ax + by + c = 0,\;ab \neq 0$ ，直線 $L$ 的斜率為 $-\frac{a}{b}$。

- 當 $a \neq 0$, $b = 0$ 時，直線 $L$ 為一條鉛直線。
- 當 $a = 0$, $b \neq 0$ 時，直線 $L$ 為一條水平線。

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### 主題三：直線的平移
設 $h,k>0$,

(1) 直線 $y=mx$ 向上平移 $k$ 個單位，得到直線 $y=mx+k$
(2) 直線 $y=mx$ 向下平移 $k$ 個單位，得到直線 $y=mx-k$
(3) 直線 $y=mx$ 向右平移 $h$ 個單位，得到直線 $y=m(x-h)$
(4) 直線 $y=mx$ 向左平移 $h$ 個單位，得到直線 $y=m(x+h)$

平移不會改變斜率

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### 主題四：兩直線關係

設兩非鉛垂線之**相異**直線 $L_1$、$L_2$ 的斜率分別為 $m_1$、$m_2$，

(1) 若 $L_1 // L_2$，則 $m_1=m_2$；反之亦然。
(2) 若 $L_1 \perp L_2$，則 $m_1m_2=-1$；反之亦然。

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