Integration by Parts

--- tags: Math --- # Integration by Parts 中文翻譯有部分積分法，也有分部積分法。不過無所謂，大部分修過微積分的人就算記得課本上的公式（如下），可能也不記得他的中文譯名。 $$ \int udv = uv - \int vdu $$ 公式解很棒，能夠很好的解決問題了。但對於初學的人來說只有一個問題，++到底 u 和 v 該如何選擇++ ？實際上我們可以用另外一種直觀的角度來看這類題目。 ## 微分版本既然這類題目乍看之下看不出來怎麽積分，我們何不先看看「這個東西微分會變成什麼」、或是「什麼東西微分後會變成這個」？ Example 1 : $\int x e^xdx$ Idea: $e^x$ 看起來就是微分後會跑出自己的東西。所以我們直接將原式微分：$\left[xe^x\right]' = xe^x + e^x$ 發現微分一次後會跑出自己，但是有不要的垃圾，把要計算的原式分離出來，得到 $xe^x = \left[xe^x\right]' - e^x$. 因此對兩邊積分： $\int x e^xdx = xe^x - e^x + c$ 即爲所求。 Example 2 : $\int x \sin x dx$ Idea: 由於三角函數 sin 和 cos 微分後會互相產生（忽略變號的話）。故來觀察和原式類似的 $x\cos x$。微分： $\left[ x \cos x \right]' = \cos x - x\sin x$ 出現了原式和一個垃圾，移項整理得到： $x \sin x = \cos x - \left[x\cos x\right]'$ 同上對式子兩邊同時積分後可以得到： $\int x \sin x\ dx = \sin x - x\cos x + c$. --- 我們可以看一下不完全是透過對自己微分來產生的類型： Example 3 : $\int \ln x\ dx$ Idea: 由於 $\ln x$ 微分後會出現 $\frac{1}{x}$，可以看作是 $x$ 的冪次 (-1)。爲了要產生 $\ln x$，我們補個 $x$ 來看看 $x \ln x$ 微分後的狀況： $[x\ln x]' = \ln x + 1$ 原式出現了，移項整理一下： $\ln x = [x\ln x]' - 1$ 同上對式子兩邊同時積分後可以得到： $\int \ln x\ dx = x\ln x - x + c$. （$\ln x$ 與多項式、分式相關的積分大多都是類似的處理法。） Example 4 : $\int x^2 e^{-x} dx$ （兩次部分積分進行替換） Step 1: 同 example 1, 我們直接對原式微分： $\left[ x^2 e^{-x} \right]' = -x^2e^{-x} + 2x e^{-x}$ 因此 $x^2e^{-x} = 2xe^{-x} - \left[ x^2 e^{-x} \right]'$ Step 2: 再一次，對 $x e^{-x}$ 微分 $\left[x e^{-x} \right]' = -xe^{-x} + e^{-x}$ 因此 $xe^{-x} = e^{-x} - \left[x e^{-x} \right]'$ 分別由下到上對兩式的兩邊同時積分： Step 2 得到 $\int xe^{-x} = -e^{-x} - xe^{-x} + c_1$ Step 1 得到 $\int x^2e^{-x} = 2(-e^{-x} - xe^{-x}) -x^2e^{-x} + c = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + c$ ## 小結這個（我曾以爲是邪門外道的）計算方式不會只有我發現，也絕對不會是第一個發現的，但我在這方面查不太到相關的資料。而我大學時的同學，撒克佳峻大量運用此方法後提供的反饋，很快的讓我驗證這個方法等價於公式法。實際上透過「微分觀察法」同時對照公式去看，可以反過來發現 $u$, $v$ 選取的大方向——$u$ 基本上會設爲容易微分的部分、$v$ 則是容易積分的部分。「微分觀察法」在計算的過程中往往會產生「不要的東西」，這個部分其實就是對應到經過公式轉換後的 $v du$ 的部分，差別在於這些是在透過微分「湊出」原式時，自然產生的產物，而非刻意透過 $v$, $du$ 的計算而來。由於不知道這個方法是否有正確的名稱，但謹容我紀念這位好朋友，將此方法命名為「撒克法」。 ## Reference [Integration by Parts -- Wolfram MathWorld](https://mathworld.wolfram.com/IntegrationbyParts.html) [Integration by Parts -- Wikipedia (EN)](https://en.wikipedia.org/wiki/Integration_by_parts)