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title: 数学を久しぶりに勉強したので記録

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# 数学を久しぶりに勉強したので記録

## 勉強した内容
* 加速度 $\frac{y}{x}$
* 放物線
    * $y=ax^2+bx+c$
    * 空気抵抗のない大砲の場合もこの式になる
* 微分 $\frac{nx^n}{x}$
* 極限 $\lim_h \to 0$
* 積分 $\int$
* 分散
    * $σ^2$
    * $\frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar X)^2$
* 標準偏差
    * $σ$
    * $\sqrt{σ^2}$
    * $\sqrt{\frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar X)^2}$
* 共分散
    * Cov (Covarianceの略
    * $σ XY$
* 誤差二乗の和 $\sum_{i=1}^{n} (Y_i-aX_i+b)^2$
* 単回帰分析

### :memo: 加速度
> 加速度は、単位時間当たりの速度の変化率。速度ベクトルの時間的な変化を示すベクトルとして加速度が定義される。 

$a$は傾き === 比例定数

等加速度運動の公式を以下にメモしていく

#### t時の速度を知りたい時
t時の速度は初速の$V_0$に加速度$a$を$t$かける

$V=V_0+at$

#### 位置を知りたい時
$x=V_0t+\frac{1}{2}at^2$

#### $v_0 \sim v$の面積
$V^2-V_0^2=2ax$

## :memo: 微分積分

微分は関数の係数を下げる
積分は関数の係数を上げる

一応微分の[定義](https://integraldx.info/derivative-681#index_id1)
> (導関数|微分係数)を求めることを「xで微分する」という

### 微分の公式ぽいやつ

$\frac{nx^n}{x}$

つまり、次数が1つ減る
はめると定数項は消える
3次関数なら2次関数になり、2次関数なら1次関数になる
面積 => 速度 => 加速度
って感じで要素が減る
このテクニックを使う場面は多いが、基本的な紹介だと、グラフの接線の角度を求めるのに使う！っていう紹介が多い

その際には極限も必用になってくる

### 極限

こういうやつ

$\lim_{x \to 0}$

xを無限に、可能な限り0に近づけるという命令 (xは0にはならない。でもそのくせ0として扱う場面が多々ある

### ① 微分して傾きを求めてみる

あえて連立方程式を使って解いてみます

$x=4, y=4$
$x=12, y=34$

1次関数の式は$y=ax+b$だから当てはめて連立方程式を
作ると

\begin{cases}
  4=a4+b \\
  34=a12+b
\end{cases}
$a8=30$
$a=\frac{30}{8}$
となる

つまり、式は
$y=\frac{30}{8}x+b$
となる

$x=4, y=4$
を当てはめてbを出す

$4=\frac{30}{8}4+b$
$b=-11$

$x=12, y=34$
を当てはめてbを出す

$34=\frac{30}{8}12+b$
$b=-11$

$b$合ってそう

なので、式はこれ
$y=\frac{30}{8}x-11$

せっかくなので
$x=4$
$x=12$
を入れて、それぞれ$y=4$ $y=34$がでるか確認する

$y=\frac{30}{8}4-11$
$y=\frac{120}{8}-11$
$y=15-11$
$y=4$

$y=\frac{30}{8}12-11$
$y=\frac{360}{8}-11$
$y=45-11$
$y=34$

傾きは\frac{30}{8}で切片が-11だとわかった


なので、答えは
$f'(x)=\frac{30}{8}$
かな

### ② 微分して傾きを求めてみる

こちらで使う計算方法はだいぶ楽です
右側の点引く左側の点をし、その結果$y/x$をして出てきたのが速度、微分係数です

$$
y=34-4=30 \\
x=12-4=8 \\
f'(x)=\frac{30}{8}
$$

30/8してるのは、xが8進んだらyが30進むので、xが1進んだら、yは30/8進んだことになる。速度の公式ですね
1次関数が速度に次元落ちした様子が見えましたね

### 積分の公式ぽいやつ

微分は次数を1つ減らす
積分は次数を1つ増やす
どういうことかというと、

速度$\frac{y}{x}$なら、$y=ax+b$になる
$y=ax+b$なら、$y=ax^2+bx+c$
このように、積分した結果関数の次数は1つ増える
どう増やせば良いのかと言うと、

$\frac{a}{n}x^n+c$

となる

例えば放物線を描く2次関数の$ax^2+bx+c$の放物線を描くグラフを積分すると、

$$
\frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx+d
$$

となり、面を求めれる式が出来上がる

で、$x$が$3 \sim 5$の面積を求める場合は、

$x$に$5$を入れた際の面$-$x$に$3$を入れた時の面を引く
つまりこういう式

$$
(\frac{a}{3}5^3+\frac{b}{2}5^2+c5+d) - (\frac{a}{3}3^3+\frac{b}{2}3^2+c3+d)
$$

ちなみにこれの証明は難しくて一旦置いといた
この3~5の面積の式は基本以下のように表す

$$
\int_3^5 \frac{a}{3}x^3+\frac{b}{2}x^2+cx+d
$$

### 分散
[参考資料](https://www.albert2005.co.jp/knowledge/statistics_analysis/multivariate_analysis/single_regression)

分散は起点と比べてどれだけ離れているのかを表す

$$
\frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar X)^2
$$


### 標準偏差

> 標準偏差とは、データの散らばりの度合いを示す値です。 標準偏差を求めるには、分散（それぞれの数値と平均値の差の二乗平均）の正の平方根を取ります。

$\sqrt{\frac{1}{n_1} \sum_{i=1}^{n} (X_i-\bar X)^2}$

### [単回帰分析](https://www.albert2005.co.jp/knowledge/statistics_analysis/multivariate_analysis/single_regression)

単回帰分析とは、2次元座標上に沢山点が打たれており、そこにそれっぽい線を引く。線なので、$y=aX+b$の線になる
x軸y軸それぞれの平均場所を通るように線を引くのよりも分散、

たしか予測値と実測値がどうのこうのとかの話あったけど忘れた
