# Queueing Theory - 2.1 The Exponential Distribution - Definition

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###### tags: `Queueing Theory`

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**Definition 2.1** An exponential random variable is a continuous random variable with probability density function (PDF): $$f(t) = \lambda e^{-\lambda t} \quad (t \geq 0)$$ where $\lambda > 0$ is a constant.
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* 他的 CDF 是 $F(t) \equiv Pr\{T \leq t\} = 1 - e^{-\lambda t} \quad (t \geq 0)$
* 他的 CCDF 是 $\tilde{F}(t) \equiv Pr\{T > t\} = e^{-\lambda t} \quad (t \geq 0)$
* $E[T] = \frac{1}{\lambda}$
* $Var[T] = \frac{1}{\lambda^2}$

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**Definition 2.2** A random variable T has the memoryless property if $$Pr\{T > t + s | T > s\} = Pr\{T > t\}, \quad (s, t \geq 0)$$
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* $T$: 把一個電器從開始用到現在經過的時間 (lifetime) 用 $T$ 來表示
* $T > s$: 如果 $T$ 已經至少經過 $s$ 這麼久了
* $Pr\{T > t + s | T > s\}$: 在上一條的前提下， $T$ 可以撐到 $t + s$ 這個時間點的機率
* $Pr\{T > t\}$: $T$ 可以撐到 $t$ 這個時間點的機率
* 白話文：到時間點 $t$ 為止的機率分佈和已經經過了多少時間沒有關係，有這樣的特性的隨機變數，就是 memoryless 的隨機變數

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**Theorem 2.1** An exponential random variable has the memoryless property.
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* 證明：用貝氏定理證就很直覺
$$
\begin{equation}
\begin{split}
Pr\{T > t + s | T > s\} & = \frac{ Pr\{T > t + s \cap T > s\} }{ Pr\{T > s\} } \\
& = \frac{ Pr\{T > t + s\} }{ Pr\{T > s\} } \\
& = \frac{ e^{-\lambda (t + s)} }{ e^{-\lambda s} } = e^{-\lambda t}
\end{split}
\end{equation}
$$