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title: 微積分講義：微積分基本定理證明

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# 微積分講義：微積分基本定理證明

### 一、 定義面積函數 $A(t)$
考慮一個連續函數 $f(x)$，在 $x$ 軸上方從 $a$ 到 $t$ 的圖形面積定義為 $A(t)$：

$$A(t) = \int_{a}^{t} f(x) \, dx$$

![image](https://hackmd.io/_uploads/r15FEVww-l.png)
> 此圖呈現函數 $f(x)$ 在區間 $[a, t]$ 下方圍成的面積 $A(t)$。

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### 二、 求 $A(t)$ 的導函數
為了求得面積函數的變化率（導函數），依據微分定義：

$$A'(t) = \lim_{\Delta t \to 0} \frac{A(t + \Delta t) - A(t)}{\Delta t}$$

這表示當 $t$ 增加一個微小量 $\Delta t$ 時，面積的增量為：

$$\Delta A = \int_{t}^{t + \Delta t} f(x) \, dx$$

![image](https://hackmd.io/_uploads/HygFDVPPbe.png)
> 此圖呈現當點 $t$ 移至 $t + \Delta t$ 時，增加的一塊極小面積 $\Delta A$。

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### 三、 夾擠定理證明邏輯
由於極限值無法直接計算，我們採用夾擠定理來逼近結果：

* **建立邊界**：在區間 $[t, t + \Delta t]$ 中，設函數 $f(x)$ 的最小值為 $m$，最大值為 $M$。
* **面積不等式**：該段面積 $\Delta A$ 會介於下矩形面積 $L$ 與上矩形面積 $U$ 之間：
  * $L = m \cdot \Delta t$
  * $U = M \cdot \Delta t$

$$\Rightarrow m \cdot \Delta t < \int_{t}^{t + \Delta t} f(x) \, dx < M \cdot \Delta t$$



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### 四、 結論：微分與積分的關係
當 $\Delta t \to 0$ 時：
1. 由夾擠定理可知，該極限值即為 $f(x)$。
2. 證得：**$A'(t) = f(x)$**。

#### **【性質總結】**
* **微分**：求導函數，其幾何意義是求 **切線斜率**。
* **積分**：求反導函數，其幾何意義是求 **圍成的面積**。