# 變異數、標準差、相對標準差 [TOC] ## 一、變異數（Variance） ### **定義** 變異數是數據集各數值與其平均值之間差異的平方的平均值。用符號表示為 $\sigma^2$（母體變異數）或 $s^2$（樣本變異數）。 ### **公式** 對於樣本變異數： $$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i -\overline{x})^2$$ 其中： - $n$ 為樣本數 - $_i$ 為每個觀測值 ### **在分析化學中的意義** 1. **數據分散程度的量化**：變異數提供了一個數值，表示數據點在平均值附近的分布情況。變異數越大，表示數據分布越分散，實驗結果的可靠性可能越低。 2. **方法的精確度評估**：在方法驗證過程中，變異數用於評估分析方法的一致性。低變異數意味著分析方法具有高精確度。 3. **統計檢定基礎**：許多統計檢定（如t檢定、ANOVA）都依賴變異數來判斷不同樣本之間是否存在顯著差異。 ## 二、標準差（Standard Deviation, SD） ### **定義** 標準差是變異數的平方根，表示數據點與平均值之間的平均距離。用符號表示為 $\sigma$（母體標準差）或 $s$（樣本標準差）。 ### **公式** $$s = \sqrt{s^2} = \sqrt{\frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^{n} (x_i - \overline{x})^2}$$ ### **在分析化學中的意義** 1. **直觀的數據分散度量**：相比變異數，標準差的單位與原始數據相同，使其更易於理解和解釋。 2. **評估實驗重現性**：在多次重複實驗中，標準差用於評估結果的一致性。較小的標準差表示實驗結果較為集中，重現性較好。 3. **控制圖的應用**：在質量控制中，標準差用於繪製控制圖（如X-Bar圖、R圖），以監控製程穩定性，及時發現異常變異。 ## 三、相對標準差（Relative Standard Deviation, RSD） ### **定義** 相對標準差是標準差與平均值的比值，通常以百分比表示，用於比較不同數據集之間的變異程度。 ### **公式** $$\text{RSD (%)} = \left( \frac{s}{\overline{x}} \right) \times 100\%$$ ### **在分析化學中的意義** 1. **無單位的變異度量**：由於RSD是無單位的百分比，便於在不同範圍或不同測量單位的數據之間進行比較。 2. **方法的相對精確度評估**：在方法驗證中，RSD用於評估方法的相對精確度。較低的RSD表示方法具有較高的精確度。 3. **標準化評估指標**：RSD常用於行業標準中作為評估分析方法性能的指標。例如，在藥品分析中，RSD通常要求在某一百分比範圍內，以保證結果的可靠性。 4. **比較不同條件下的實驗結果**：RSD允許分析人員比較在不同實驗條件、不同操作人員或不同儀器下獲得的數據變異情況。 --- ## 四、實例應用 假設某分析化學實驗測量樣品中某成分的含量，重複測量5次得到以下數據（單位：mg/L）： \[ 50.2, 49.8, 50.0, 50.1, 49.9 \] 1. **計算平均值 ($\overline{x}$)**： $\overline{x} = \frac{50.2 + 49.8 + 50.0 + 50.1 + 49.9}{5} = 50.0 \, \text{mg/L}$ 2. **計算變異數 ($s^2$)**： $s^2 = \frac{(50.2-50.0)^2 + (49.8-50.0)^2 + (50.0-50.0)^2 + (50.1-50.0)^2 + (49.9-50.0)^2}{5-1} = \frac{0.04 + 0.04 + 0 + 0.01 + 0.01}{4} = 0.025 \, (\text{mg/L})^2$ 3. **計算標準差 ($s$)**： $s = \sqrt{0.025} \approx 0.158 \, \text{mg/L}$ 4. **計算相對標準差 (RSD)**： $\text{RSD (\%)} = \left( \frac{0.158}{50.0} \right) \times 100\% \approx 0.316\%$ ### **解釋** - **變異數 0.025 $(\text{mg/L})^2$**：表示數據點相對於平均值的分散程度。 - **標準差 0.158 mg/L**：表示每次測量結果平均偏離平均值0.158 mg/L。 - **RSD 0.316\%**：表示數據的變異性相對於平均值僅為0.316%，顯示出實驗方法具有極高的精確度。