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# System prepended metadata

title: 'Linear Algebra - Lec 23~24: Determinant'
tags: [Linear Algebra - HungYiLee]

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tags: Linear Algebra - HungYiLee
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# Linear Algebra - Lec 23~24: Determinant


[TOC]

# [課程網站](http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_LA18.html)


# [Lecture 23: Formulas of Determinant](https://www.youtube.com/watch?v=7fXtSUrKND0&list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW&index=23)

## Determinant

- scalar
- only defined matrix is **square**
- provide some info about the matrix, e.g.
    - **invertibility**
- 要求 determinant，要先會求 cofactor

### Cofactor Expansion

![](https://i.imgur.com/dE38ruL.png)
- $A\in \mathbb R^{n\times n}$
- $a_{ij}$：$A$ 的 element
- $A_{ij}\in\mathbb R^{n\times n}$ : 把 $A$ 的第 $i$ row 及第 $j$ column 移除之後的 matrix
- $c_{ij}=(-1)^{i+j}\det\,A_{ij}$：**(i, j)-cofactor**

### Example - 2x2 matrix

![](https://i.imgur.com/AGGeyRO.png)
- define $\det([a]) = a$

### Example - tridiagonal matrix

- 假設 $A_n$ 為 $n$ 階的 tridiagonal matrix
- 即使推廣到 $A_n$，我們也只需要考慮兩項
- $\det(A_n)=\det(A_{n-1})-\det(A_{n-2})$，proof 懶得寫，自己導一次ˊˋ

# [Lecture 24: Properties of Determinant](https://www.youtube.com/watch?v=005nG8ZZVDE&list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW&index=24)

## Determinant 於二維 & 三維空間

- 平行四邊形 的面積
- 平行六面體 的體積

## Three Basic Properties of Determinant

1. $\det(I)=1$
2. **Exchange rows only reverses the sign of det**
3. **Determinant is "linear" for each row**

其實根據這三個 property 可以直接推出 determinant cofactor expansion

### Basic Property 1

![](https://i.imgur.com/Yt52cpX.png)

### Basic Property 2

- Exchanging rows only reverses the sign of det
    - 可以利用這個 property 推出 若 $A$ 有兩個 row 是相同的，那麼 $\det(A)=0$
        - ![](https://i.imgur.com/3Me0dNu.png)

### Basic Property 3


Property 3: Determinant is "linear" **for each row**

![](https://i.imgur.com/aewCdnx.png)
- Property 3-a: 
    - $\det(\begin{bmatrix}ta&tb\\c&d\end{bmatrix})=t\cdot \det(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix})$
        - 可以推出：$\det(2A)=2^n\cdot\det(A)$
            - 因此 **determinant 這個 operation 並不是 linear 的**
        - 也可以推出：若 $A$ 有 zero-row，則 $\det(A)=0$

![](https://i.imgur.com/nOGoAmX.png)
- Property 3-b:
    - $\det(\begin{bmatrix}a+a'&b+b'\\c&d\end{bmatrix}) = \det(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}) + \det(\begin{bmatrix}a'&b'\\c&d\end{bmatrix})$

![](https://i.imgur.com/mU4UuSc.png)
- 利用 property 3 可以推出：若將 $A$ 的第 $j$ 個 row 減去第 $i$ 個 row 的 $k$ 倍，determinant 不會變
    - 二階 example：$\det(\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix})=\det(\begin{bmatrix}a&b\\c-ka&d-kb\end{bmatrix})$

### Determinants for Upper Triangular Matrix

![](https://i.imgur.com/39yZC0X.png)

### Determinants v.s. Invertible


**$A$ is invertible $\leftrightarrow$ $\det(A)\neq 0$**
- proof:
    - 假設 $A$ 的 RREF 是 $R$，則
    - 若 $A$ invertible，則 $\det(R)=1$
    - 又 $\det(A)$ 和 $\det(R)$ 的關係為 $\det(R)=\pm k_1k_2...\det(A)$
    - 故，若 $A$ invertible，則 $\det(A)\neq 0$

### Invertible: review & new

![](https://i.imgur.com/TJHfz1T.png)

### More Properties of Determinant

- $\det(AB) = \det(A)\det(B)$ 可推出：
    - $\det(A^{-1}) = 1/\det(A)$
    - $\det(A^k)=\det(A)^k$
- $\det(A^T)=\det(A)$ 可推出：
    - 之前我們知道：有 zero-row (或 same row) 則 $\det(A)=0$，現在我們也知道：有 zero-column (或 same column)，則 $\det(A)=0$

## Cramer's Rule 克拉瑪公式 & Adjugate 伴隨矩陣

![](https://i.imgur.com/uKj6Toa.png)
- 這個求 $A^{-1}$ 的方法**實用性很低**，比求 RREF 還麻煩
- 那我就先不學ㄌ

### 還有東西但是懶得看ㄌ




