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tags: Linear Algebra - HungYiLee
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Linear Algebra - Lec 21~22: Coordinate System
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[TOC]

# [課程網站](http://speech.ee.ntu.edu.tw/~tlkagk/courses_LA18.html)

# [Lecture 21: Coordinate System](https://www.youtube.com/watch?v=im3kTm9jGEM&list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW&index=21)

## Outline

- **basis 可以組成一個 coordinate system**
- coordinate system 是一種拿來描述 vector 的**觀點 (viewpoint)**

## Vector in different Coordinate System

- vector $\begin{bmatrix}a\\b\end{bmatrix}$ 其實可以被視為 $a\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+b\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$
- example:
- 在 cooodinate system $\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\}$ 下的 vector $\begin{bmatrix}8\\4\end{bmatrix}$ 是 $8\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}$
- 但卻是 coordinate system $\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\}$ 下的 $\begin{bmatrix}6\\-2\end{bmatrix}$

<!-- 不確定是否正確
- 自行補充:
- 同理，在 coordinate system $\{\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix},\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}\}$ 下的 $\begin{bmatrix}8\\4\end{bmatrix}$，則是 $8\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}+4\begin{bmatrix}-1\\1\end{bmatrix}$
- 即 coordinate system $\{\begin{bmatrix}1\\0\end{bmatrix},\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}\}$ 下的 $\begin{bmatrix}4\\12\end{bmatrix}$
-->

## Coordinate System

滿足以下要求，vector set $\mathcal B$ 才能被稱作 $\mathbb R^n$ 的 coordinate system

要求:
1. 每個 vector 都要有辦法被表示
2. 每個 vector 的表示都是唯一的

因此必須滿足
1. **vector set $\mathcal B$ spans the $\mathbb R^n$**
2. **vector set $\mathcal B$ is independent**

結論:
- a vector set $\mathcal B$ can be considered as a coordinate system for $\mathbb R^n$ **if $\mathcal B$ is a basis of $\mathbb R^n$**

## Why Basis? (Proof)

## Coordinate System

- 現在把 $\mathbb R^n$ 的 basis $\mathcal B=\{u_1,...,u_n\}$ 當作 coordinate system 來用
- 那麼對於任意的 vector $v\in\mathbb R^n$，我們都可以找到 以 $\mathcal B$ 的觀點來看 $v$ 的唯一的 vector $[v]_{\mathcal B}=\begin{bmatrix}c_1\\c_2\\\vdots\\c_n\end{bmatrix}$ 使得 $v=c_1u_1+c_2u_2+...+c_nu_n$

## B-coordinate vector
- $v$ 通常指在直角坐標系 $\epsilon$ 描述的 vector
- 直角坐標系 $\epsilon$ 又稱 笛卡爾坐標系 (Cartesian coordinate system)
- $[\cdot]_\mathcal B$ 指在 $\mathcal B$ 下描述的 vector
- $[v]_\mathcal\epsilon = v$

## 坐標系間的轉換

### Other System -> Cartesian

- 令 vector set $\mathcal B=\{u_1,...,u_n\}$ 組成 coordinate system $\mathbb R^n$
- 若已知 $[v]_\mathcal B$，如何求原來的 $v$ 呢？
- 把 $\mathcal B$ 的 vector 排成矩陣 $B=\begin{bmatrix}u_1&u_2&\cdots&u_n\end{bmatrix}$
- $v=B[v]_\mathcal B$


### Cartesian -> Other System

- 反之同理，令 vector set $\mathcal B=\{u_1,...,u_n\}$ 組成 coordinate system $\mathbb R^n$，若已知 $v$，求 $[v]_\mathcal B$？
- $[v]_\mathcal B = B^{-1}v$

### Summary: Cartesian <-> Other System

總結：
令 $\mathcal B=\{b_1,...,b_n\}$ 為 $\mathbb R^n$ 的 basis，則
- $[v]_\mathcal B=B^{-1}v$
- 記憶法：從正常世界進到魔法世界需要經過 9又3/4月台?
- $v = B[v]_\mathcal B$
- $[b_i]_\mathcal B = e_i$
- proof?

## Changing Coordinates

### Example: Equation of ellipse



### Example: Equation of hyperbola

懶ㄉ放ㄌ

# [Lecture 22: Linear Function in Coordinate System](https://www.youtube.com/watch?v=IrAdVhE6VqI&list=PLJV_el3uVTsNmr39gwbyV-0KjULUsN7fW&index=22)

## Basic Idea

- 某些複雜的 function，在轉換了坐標系之後，會變成簡單的 function

## Example

- 例如說，針對某條線鏡射，這樣的 transformation 可以用一個 matrix $T$ 來表示。
- 想要求得 $T$，可以利用 standard vector $e_1,e_2,...$ 代入 transformation 得到的值，就可以知道 $T$ 的 column。然而這樣仍然很難計算出 $T$

- 但是若 $\mathcal L$ 不是任意一條直線，而是一個 special case：水平線，這樣就好算很多了
- special case $T'=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$

### Describing the function in another coordinate system

- 既然如此，我們就找到一個 coordinate system $\mathcal B=\{b_1,b_2\}$，使得該直線 $\mathcal L$ 就是該 coordinate system 的水平線。
- 新的 notation $[T]_\mathcal B$：在 coordinate system $\mathcal B$ 中去看 $T$ 這個 transformation 長怎樣
- input and output are both in $\mathcal B$
- 也就是說在我們的 case 中，$[T]_\mathcal B=T'=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$
- 另一個觀點
- $[b_1]_\mathcal B=e_1$
- $[b_2]_\mathcal B=e_2$
- 想知道 $[T]_\mathcal B$ 的話，就把 $\mathcal B$ 這個 coordinate system 的 standard vector 代到 $[T]_\mathcal B$ 裡面就知道它的每個 column 是什麼了
- 因此 $[T]_\mathcal B=\begin{bmatrix}1&0\\0&-1\end{bmatrix}$

## 流程


## 流程 - 殊途同歸

- 如此一來，$[T]$ 這個 transformation 其實和 走上面 3 個箭頭繞路是相同的 transformation，可以得到
- $[T]=B[T]_\mathcal BB^{-1}$
- 既然已經知道 $[T]=B[T]_\mathcal BB^{-1}$，那麼等號兩邊做乘法也可以得到
- $[T]_\mathcal B=B^{-1}[T]B$

### Similar

- 這裡衍伸一個名詞 **similar**
- 若找得到 invertible matrix $P$ 使得 $A'=PAP^{-1}$，則我們說 $A$ 和 $A'$ 是 similar 的。

### Example 1


### Example 2

### Example 3
- 為了講解 coordinate system 所以用了迂迴的解法

## Conclusion

拿全面啟動舉例XDDDDD
- 現實中很困難的任務，可以藉由另一個空間較簡單的任務達成
- by Inception