## Analysis of Financial Time Series, Third Edition (Wiley Series in Probability and Statistics)

### ASSET RETURNS

#### 目錄
* 定義：什麼是簡單報酬率 ($R_t$)？
* 計算：如何計算多年期的「年化報酬率」？
* 幾何平均 vs. 算術平均
* 概念：什麼是「連續複利」($e^r$)？
* 工具：什麼是「對數報酬率」($r_t$)？
* 應用：
* 對數報酬率的優勢（跨期可加總）
* 如何處理股息 (Dividend)？
* 什麼是超額報酬 (Excess Return)？

#### One-period Simple Return
Simple Return

持有資產一個期間（從 $t-1$ 到 $t$）的總報酬。

$P_t$：$t$ 時刻的資產價格（期末）

$P_{t-1}$：$t-1$ 時刻的資產價格（期初）

簡單總報酬率 (Simple Gross Return)

$$1 + R_t = \frac{P_t}{P_{t-1}}$$

代表你的 1 元本金變成了多少錢。

簡單淨報酬率 (Simple Net Return)

$$R_t = \frac{P_t}{P_{t-1}} - 1$$

這就是我們一般口語中的「報酬率」（例如：+10% 或 -5%）。

#### Multiple period Simple Return
$1 + R_t[k]$ 代表的是「總累積報酬率」(Gross Return)，也就是你的資產從 $t-k$ 時間點到 $t$ 時間點總共變成了原來的幾倍
$$1 + R_t[k] = \frac{P_t }{P_{t-k}}$$0
$\frac{P_t}{P_{t-1}}$ 是第 $t$ 期的單期成長倍數。$\frac{P_{t-1}}{P_{t-2}}$ 是第 $t-1$ 期的單期成長倍數。

展示了如何從「多期價格比」推導到「單期毛報酬率的連乘積」
$$\frac{P_t}{P_{t-k}} = \frac{P_t}{P_{t-1}} \times \frac{P_{t-1}}{P_{t-2}} \times \dots \times \frac{P_{t-k+1}}{P_{t-k}}$$
$$= (1 + R_t)(1 + R_{t-1})\dots(1 + R_{t-k+1})$$
$$= \prod_{j=0}^{k-1} (1 + R_{t-j})$$

解釋為甚麼要使用連乘?

EX:
假設你投資 $100 元 (P0 = 100)。
第一天漲了 10% (R1 = 0.1)，資產變為 $100 \times 1.1 = 110$ 元 ($P_1$)。這裡的 $1.1$ 就是 $\frac{P_1}{P_0}$。
第二天又漲了 20% ($R_2 = 0.2$)，資產變為 $110 \times 1.2 = 132$ 元 ($P_2$)。這裡的 $1.2$ 就是 $\frac{P_2}{P_1}$。
你要算兩天總共變成了幾倍 (總報酬)，你會用最終價格除以初始價格：$$\frac{132}{100} = 1.32 \text{ 倍}$$這等於把每一天的成長倍數「乘」起來：$$1.32 = 1.1 \times 1.2$$$$\frac{P_2}{P_0} = \frac{P_1}{P_0} \times \frac{P_2}{P_1}$$

是「相乘」而不是相加，是因為每一個期間的報酬都是基於「前一期期末」的資產價值來計算的，這就是複利的運作方式

#### Annualized Return 年化報酬率

如果你持有資產 $k$ 年，報酬率分別為 $R_t, R_{t-1}, \dots, R_{t-k+1}$，請問「平均每年」的報酬率是多少？

$$\frac{R_t + R_{t-1} + \dots}{k} \quad (\text{錯誤的})$$

範例：
* 第 1 年：-50% ($100 \to 50$)
* 第 2 年：+100% ($50 \to 100$)
* 算術平均：$(-50\% + 100\%) / 2 = +25\%$
* 真實報酬：$0\%$ (回到原點)

#### 年化報酬率 (1): 幾何平均
Geometric Mean (最精確的算法)
反映複利 (Compounding) 現象的真實平均報酬率

公式
$$\text{Annualized } \{R_t[k]\} = \left[ \prod_{j=0}^{k-1} (1 + R_{t-j}) \right]^{1/k} - 1$$
* $\prod$ 是「連乘」符號：$(1+R_1) \times (1+R_2) \times \dots \times (1+R_k)$
* $(\dots)^{1/k}$ 是取 $k$ 次方根。

範例： (-50% 和 +100%)
* $[(1 - 0.50) \times (1 + 1.00)]^{1/2} - 1$
* $[(0.50) \times (2.00)]^{1/2} - 1$
* $[1.00]^{1/2} - 1 = 1 - 1 = 0\%$ (正確)

#### 年化報酬率 (2): 算術平均
Arithmetic Mean (近似值)
僅在 $R_t$ 非常小的時候，可作為近似值。

公式
$$\text{Annualized } \{R_t[k]\} \approx \frac{1}{k} \sum_{j=0}^{k-1} R_{t-j}$$
* $\sum$ 是「連加」符號：$R_1 + R_2 + \dots + R_k$
* ≈ 代表「約等於」。

備註：
* 算術平均永遠高於幾何平均（除非波動為0）。
* 它忽略了「波動性懲罰」(Volatility Drag)，因此會高估真實報酬。

#### The Effect of Compounding

在 10% 年利率下，$1 元本金存放 1 年：
一年計息 1 次 (m=1)：
$$1 \times (1 + 0.1/1)^1 = \$1.1000$$

半年計息 1 次 (m=2)：
$$1 \times (1 + 0.1/2)^2 = \$1.1025$$

每日計息 1 次 (m=365)：
$$1 \times (1 + 0.1/365)^{365} \approx \$1.10516$$

$m$ 次計息公式：

$$A = C \times \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m$$

問題：如果計息頻率 $m$ 趨近於「無限大」，利潤是否也會無限大？
答案：否。

#### Continuous Compounding

當計息頻率 $m \to \infty$（無限大）時，複利會收斂到一個極限值，稱為「連續複利」。
極限公式

$$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m = e^r = \exp(r)$$

* $e$ 是尤拉數，約為 2.718...
* $\exp(r)$ 是 $e^r$ 的標準寫法。

#### 未來價值 (A) 與現值 (C )

在連續複利下，$n$ 年後的總資產 $A$ 為：
$$A = C \times \exp(r \times n)$$
反推「現值」$C$：
$$C = A \times \exp(-r \times n)$$

#### 為什麼是 $e$？

利用數學代換，我們可以證明：

$$\lim_{m \to \infty} \left(1 + \frac{r}{m}\right)^m = \left[ \lim_{k \to \infty} \left(1 + \frac{1}{k}\right)^k \right]^r = [e]^r = e^r$$

這就是 $\exp(r)$ 的由來。

#### 連續複利報酬率 (Log Return)
既然連續複利的總報酬是 $e^r$，那麼反推「報酬率 $r$」就需要取「自然對數 $\ln$」。
這就是對數報酬率 (Log Return)，寫作 $r_t$ (小寫r)。

公式

$$r_t = \ln(1 + R_t)$$
* $R_t$ 是簡單淨報酬率 (例如 0.1)
* $1+R_t$ 是總報酬率 (例如 1.1)
* $r_t = \ln(1.1) \approx 0.0953$ (即 9.53%)

備註：
* **幾何平均報酬等價於對數報酬率**，且對數報酬率 $r_t$ (9.53%) 永遠會略小於 簡單報酬率 $R_t$ (10%) (在正報酬時)。

容易計算
$$r_t = \ln\left(\frac{P_t}{P_{t-1}}\right) = \ln(P_t) - \ln(P_{t-1})$$
令 $p_t = \ln(P_t)$ (價格的對數)
$$r_t = p_t - p_{t-1}$$
只要把所有價格取 $\ln$，兩兩相減就是對數報酬率！

#### Log Return 跨期可加總 (Temporal Aggregation)

$k$ 期的總對數報酬，等於 $k$ 期個別對數報酬的總和。

公式
$$r_t[k] = r_t + r_{t-1} + \dots + r_{t-k+1}$$

VS. 簡單報酬 (用乘法)
$$1 + R_t[k] = (1 + R_t)(1 + R_{t-1})\dots(1 + R_{t-k+1})$$

結論：
* Log Return ($r_t$) $\to$ 加法 $\to$ 易於統計與建模
* Simple Return ($R_t$) $\to$ 乘法 $\to$ 數學上較複雜

#### 算術平均報酬的好處

前面這樣看完，會有種算術平均真沒用的想法
但其實這方法可以用在資產組合的報酬加總上面，對數就沒有辦法用在資產組合上面了!

簡單報酬 (Rt) 的組合
投資組合的簡單報酬 = 個別資產的加權平均 (完美)
$$R_{p,t} = \sum_{i=1}^N w_i R_{it}$$
($w_i$ = 資產 $i$ 的權重, $R_{it}$ = 資產 $i$ 的簡單報酬)

#### 實務上面的處理
#### Dividend Payment

如果資產在 $t-1$ 和 $t$ 之間支付了股息 $D_t$，$P_t$ (期末價格) 通常不包含這筆股息。
計算報酬率時，必須將股息加回「總收入」。

簡單淨報酬率 ($R_t$)
* 你的「總收入」是 $P_t + D_t$
* 你的「成本」是 $P_{t-1}$
$$R_t = \frac{P_t + D_t}{P_{t-1}} - 1$$

對數報酬率 ($r_t$)
* 「期末價值」是 $P_t + D_t$
* 「期初價值」是 $P_{t-1}$

$$r_t = \ln(P_t + D_t) - \ln(P_{t-1})$$

#### **Excess Return**

衡量「承擔額外風險」所獲得的「額外報酬」。
計算方式：資產報酬 減去 無風險資產 (Reference Asset, 如美國國債) 的報酬。

公式
簡單超額報酬 ($Z_t$)

$$Z_t = R_t - R_{0t}$$

對數超額報酬 ($z_t$)
$$z_t = r_t - r_{0t}$$

* $R_t$ = 你的資產報酬
* $R_{0t}$ = 無風險資產報酬

意義：
* 你的股票今年賺 10%，銀行定存 2%。
* 你的超額報酬 $Z_t = 10\% - 2\% = 8\%$。
* 這 8% 是市場給予你「承擔風險」的獎勵 (Risk Premium)。