# Cayley-Hamilton定理簡介
### 前言
在Handout第4冊 162頁出現了這樣的東西
> 
> 圖源：徐震撼拍的

可是他講的實在是很不清楚
所以我嘗試來分析一下這是什麼鬼東西

雖然我講的也不一定清楚
笑死

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## 結論
aka懶人包
> 給定矩陣$A_{n \times n}$
> 令特徵多項式$f(\lambda)=\det (\lambda I-A)$
> 則$f$同時也是$A$的消滅多項式
> 即$f(A)=O_n$

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:::info
先只討論方陣的部分
:::
## 一些你需要知道的定義

重要性由上而下遞減
先給個矩陣$A=
\begin{bmatrix}
2 & 3 & 1 \\
0 & 1 & 3 \\
2 & 2 & 1 \\
\end{bmatrix}$方便後續理解

### 特徵多項式
> 定義特徵多項式$f(\lambda)=\det (\lambda I-A)$

此例中$f(\lambda)={\lambda}^3-4{\lambda}^2-3{\lambda}-6$

::: spoiler 這東西能幹嘛?
這方程式藏了一些酷東西
像是$f(0)=(-1)^n\det A$或是矩陣的特徵值之類的東西
可以先當定義背起來
:::

### 伴隨矩陣
> 伴隨矩陣$\mathrm{adj}(A)$
> 滿足$\mathrm{adj}(A)A=\det(A)I_n$
> 定義:
> $\mathrm{adj}(A)_{ji}=(-1)^{i+j}\det(M_{ij})$
> 其中$\det(M_{ij})$表示$A$刪掉第$i$橫列與第$j$縱行後得到的行列式

總之就是跟反矩陣長得很像的東西

看不懂?
我也看不懂
所以直接舉例
$\mathrm{adj}(A)=
\begin{bmatrix}
+\begin{vmatrix}1 & 3\\2 & 1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}0 & 3\\2 & 1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}0 & 1\\2 & 2\end{vmatrix} \\
-\begin{vmatrix}3 & 1\\2 & 1\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2 & 1\\2 & 1\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2 & 3\\2 & 2\end{vmatrix} \\
+\begin{vmatrix}3 & 1\\1 & 3\end{vmatrix} & -\begin{vmatrix}2 & 1\\0 & 3\end{vmatrix} & +\begin{vmatrix}2 & 3\\0 & 1\end{vmatrix} \\
\end{bmatrix}^T$
$=
\begin{bmatrix}
-5 & 6 & -2 \\
-1 & 0 & 2 \\
8 & -6 & 2 \\
\end{bmatrix}^T$
$=
\begin{bmatrix}
-5 & -1 & 8 \\
6 & 0 & -6 \\
-2 & 2 & 2 \\
\end{bmatrix}$

### 轉置矩陣
> 行列互換

$A^T=
\begin{bmatrix}
2 & 0 & 2 \\
3 & 1 & 2 \\
1 & 3 & 1 \\
\end{bmatrix}$

## 正文
嘎油

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### Step.1 假設一個新矩陣
我們令$B=\lambda I-A$
則有$\det (\lambda I-A)=f(\lambda)=\det(B)$
假設$f(\lambda)=a_0+a_1{\lambda}+a_2{\lambda}^2+...+a_n{\lambda}^n$
:::spoiler {state="open"}承上面的例子
$B=
\begin{bmatrix}
\lambda -2 & -3 & -1 \\
0 & \lambda-1 & -3 \\
-2 & -2 & \lambda-1 \\
\end{bmatrix}$
$f(\lambda)=-6+-3{\lambda}+-4{\lambda}^2+{\lambda}^3$
:::

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### Step.2 找尋det(B)的值
根據伴隨矩陣的定義
我們知道$\mathrm{adj}(B)B=\det(B)I_n$

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### Step.3 解析右式
:::danger
這步是關鍵 可以多看幾遍
裡面有許多細節
不懂可以問 我盡量回答
:::
簡單小性質
> 一個$n$階行列式
> 如果每個元都是某個未知數$t$的一次式
> 那它的值必可以表示成次數小於等於$n$的多項式

根據$\mathrm{adj}(B)$的[定義](https://hackmd.io/UXy9QK6pTeKzAeuFsWO7vA?both#%E4%BC%B4%E9%9A%A8%E7%9F%A9%E9%99%A3)
我們知道它的每一個元都是一個$n-1$階的行列式
而$B$矩陣的每一項都是$\lambda$的一次或零次式
參考上面的小性質
可以知道所有的$\mathrm{adj}(B)_{ij}$**都是$\lambda$的$n-1$次式**(或以下)
所以我們可以讓$\mathrm{adj}(B)=C_0{\lambda}^0+C_1{\lambda}^1+...+C_{n-1}{\lambda}^{n-1}$
其中$C_0, C_1, ..., C_{n-1}$是係數矩陣

:::spoiler {state="open"}承上面的例子
$\mathrm{adj}(B)=
\begin{bmatrix}
{\lambda}^2-2{\lambda}-5 & 6 & 2{\lambda}-2 \\
3{\lambda}-1 & {\lambda}^2-3{\lambda} & 2{\lambda}+2 \\
{\lambda}+8 & 3{\lambda}-6 & {\lambda}^2-3{\lambda}+2 \\
\end{bmatrix}^T$
$=
\begin{bmatrix}
{\lambda}^2-2{\lambda}-5 & 3{\lambda}-1 & {\lambda}+8 \\
6 & {\lambda}^2-3{\lambda} & 3{\lambda}-6 \\
2{\lambda}-2 & 2{\lambda}+2 & {\lambda}^2-3{\lambda}+2 \\
\end{bmatrix}$
可以注意到裡面每一項都是2次或以下
所以我們可以令
$C_0=
\begin{bmatrix}
-5 & -1 & 8 \\
6 & 0 & -6 \\
-2 & 2 & 2 \\
\end{bmatrix}$
$C_1=
\begin{bmatrix}
-2 & 3 & 1 \\
0 & -3 & 3 \\
2 & 2 & -3 \\
\end{bmatrix}$
$C_2=
\begin{bmatrix}
1&0&0 \\
0&1&0 \\
0&0&1 \\
\end{bmatrix}$
於是$\mathrm{adj}(B)=C_2{\lambda}^2+C_1{\lambda}^1+C_0{\lambda}^0$
:::
但其實不用找出$C_i$是多少

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### Step.4 換個表示法
$\mathrm{adj}(B)B=\det(B)I_n$
也可以寫成
$(C_0+C_1{\lambda}+...+C_{n-1}{\lambda}^{n-1})(\lambda I-A)=(a_0+a_1{\lambda}+a_2{\lambda}^2+...+a_n{\lambda}^n)I$

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### Step.5 乘開 比較λ的係數
$-C_0A=a_0I$
$(C_0-C_1A)=a_1I$
$(C_1-C_2A)=a_2I$
...

$C_{n-1}=a_nI$

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### Step.6 消消樂
上式第二行乘$A$
第三行乘$A^2$
以此類推
再加起來
$-C_0A+(C_0A-C_1A^2)+(C_1A^2-C_2A^3)+...+C_{n-1}A^n$
$=O_n$
$=a_0I+a_1A+a_2A^2+...+a_nA^n$

...長得跟特徵多項式一樣耶
所以$f(A)=a_0I+a_1A+a_2A^2+...+a_nA^n=O_n$
證畢 耶嘿

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## 後記
浪費3小時在整理這東西
然後我紙雕燈刻不完ㄌ
幹

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