# 二階數學補充-矩陣&線性代數
我不會線性代數

## 複習數甲
數甲好像沒出現矩陣 哈哈

## 專有名詞們
### n階方陣
$n\times n$的矩陣

### 單位矩陣$I$
主對角線都是$1$
其他都是$0$

### 零矩陣$O$
全都是$0$

### 轉置矩陣$A^T$
若$B=A^T$
則$B_{i\ j}=A_{j\ i}$

### 對稱矩陣
$A_{i\ j}=A_{j\ i}$

### 對角化矩陣
若$i\not=j$
則$A_{i\ j}=0$

### 上/下三角矩陣

### 行列式值$\det$
痾 懶得寫
晚點記得的話會補

### 矩陣乘法複雜度
$O(A_{a\times b}\times B_{b\times c})=a\times b\times c$

### Cayley-Hamilton 定理
[由此進](https://hackmd.io/@jerryliu1029/rkmYw1d3Y)

## 寫寫考古

### EC2101 (線性變換)

$2(3x+a(2x+1))+1=(bx+7(2x+1))$
$6x+4ax+2a+1=bx+14x+7$
$(4a-b-8)x=6-2a$

由於對所有$x$皆成立
故$x$有無限多組解$\rightarrow4a-b-8=6-2a=0$
$a+b=3+4=7$

### EC2109 (轉移矩陣)

### EC2008 (三階行列式)
$c$只有唯一解

### EC1906 (CH定理)

### EE1704 (線性變換)

### EE1708 (矩陣對角化)
(a)
假設今天要排$n$元($n\ge2$)
可以在$n-1$元後面補一張$1$元
或是在$n-2$元後面補一張$2$元(2元有兩種)
$\rightarrow a_n=a_{n-1}+2a_{n-2}$
$a_1=1$(一張1元)
$a_2=3$(1+1 or 2)

(b)
設$P=\begin{bmatrix}a&b\\c&d\end{bmatrix}$
可得$a_n=a\times a_{n-1}+b\times a_{n-2}$
$a_{n-1}=c\times a_{n-1}+d\times a_{n-2}$
得$a=1, b=2, c=1, d=0$
$P=\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix}$

(c\)
:::info
矩陣$Q$的來源:
假設一個矩陣$X=\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}$滿足$PX=\lambda X$
$\rightarrow PX=\lambda IX$
$\rightarrow (P-\lambda I)X=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$
$\begin{bmatrix}1-\lambda&2\\1&0-\lambda\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$
且$\begin{bmatrix}a_1\\a_2\end{bmatrix}\not=\begin{bmatrix}0\\0\end{bmatrix}$
我們稱$X$為$P$的特徵向量
:::
$\det(Q)=-3$
$Q^{-1}=\cfrac1{-3}\begin{bmatrix}-1&-1\\-1&2\end{bmatrix}$

(d)
$P=QRQ^{-1}$
$PQ=QRQ^{-1}Q=QR$
$Q^{-1}PQ=Q^{-1}QR=R$
$R=\cfrac13\begin{bmatrix}1&1\\1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}2&0\\0&-1\end{bmatrix}$

(e)
$\begin{bmatrix}a_{n+1}\\a_n\end{bmatrix}=P^{n-1}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$
$=(QRQ^{-1})^{n-1}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$
$=QR^{n-1}Q^{-1}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}2&1\\1&-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2^{n-1}&0\\0&(-1)^{n-1}\end{bmatrix}\cfrac13\begin{bmatrix}1&1\\1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}2^n&(-1)^{n-1}\\2^{n-1}&(-1)^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cfrac43\\\cfrac13\end{bmatrix}$
$a_n=\cfrac23\times2^n+\cfrac13\times(-1)^n$

### EE1403 (轉移矩陣)

### EE1301 (矩陣對角化)

#### 解1:消常數
令$b_n=a_n-1$
有$b_n=b_{n-1}+2b_{n-2}$
再用二階遞迴解

#### 解2:降階遞迴
$a_n+(a_{n-1}-2)=2a_{n-1}+2a_{n-2}-4=2(a_{n-1}+a_{n-2}-2)$

$\ \ \ \ a_n+(a_{n-1}-2)=2(a_{n-1}+a_{n-2}-2)$
$a_{n-1}+(a_{n-2}-2)=2(a_{n-2}+a_{n-3}-2)$
$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ ...$
$\times)\ \ \ \ a_3+(a_2-2)=2(a_2+a_1-2)$
$----------------------$
$\ \ \ \ \ \ \ a_n+a_{n-1}-2=2^{n-2}(5+3-2)=3\times2^{n-1}$

$(a_n-1)+(a_{n-1}-1)=2^n+2^{n-1}$
$a_n=2^n+1$

#### 解3:矩陣對角化
$a_0=\cfrac{5-3+2}2=2$
$P\begin{bmatrix}a_{n+1}\\a_n\\1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}1&2&-2\\1&0&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}a_{n+1}\\a_n\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{n+2}\\a_{n+1}\\1\end{bmatrix}$
$P=QRQ^{-1}$
$=\begin{bmatrix}1&1&2\\-1&1&1\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&0&0\\0&1&0\\0&0&2\end{bmatrix}\cfrac13\begin{bmatrix}1&-2&1\\0&0&3\\1&1&-2\end{bmatrix}$

$P^{n}\begin{bmatrix}a_1\\a_0\\1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a_{n+1}\\a_n\\1\end{bmatrix}$
$\rightarrow QR^nQ^{-1}\begin{bmatrix}a_1\\a_0\\1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}1&1&2\\-1&1&1\\0&1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}(-1)^n&0&0\\0&1&0\\0&0&2^n\end{bmatrix}\cfrac13\begin{bmatrix}1&-2&1\\0&0&3\\1&1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}(-1)^n&1&2\times2^n\\-(-1)^n&1&2^n\\0&1&0\end{bmatrix}\cfrac13\begin{bmatrix}1&-2&1\\0&0&3\\1&1&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}$
$=\cfrac13\begin{bmatrix}(-1)^n+2\times2^n&1&2\times2^n\\2^n-(-1)^n&1&2^n\\0&1&0\cfrac13\end{bmatrix}\begin{bmatrix}3\\2\\1\end{bmatrix}$

### EE1202 (線性變換)
(1)
$AB=BA$
$\rightarrow\begin{cases}3a+1=3a+b\\3b+c=a+2b\\a+2=3+c\\b+2c=1+2c\end{cases}$
$\rightarrow b=1, a-c=1$

(2)
$\begin{bmatrix}a&b\\1&a-1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2t+3\\t\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}a(2t+3)+bt\\2t+3+t(a-1)\end{bmatrix}$

$a(2t+3)+bt=3(2t+3+t(a-1))-15$
$(2a+b)t+3a=(3a+3)t-6$
$3a+6=(a-b+3)t$
$a=-2, b=1, c=-3$

### EE1204 (矩陣乘法性質)

### EE1106 (轉移矩陣)
$\begin{bmatrix}0.7&0.6\\0.3&0.4\end{bmatrix}$

### EE0806 (線性變換)*
$\begin{bmatrix}a&b\\\sqrt3a&c\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cfrac{\cos\theta}2\\\cfrac{\sin\theta}{2\sqrt2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&0\\0&2\sqrt2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cfrac{\cos\theta}2\\\cfrac{\sin\theta}{2\sqrt2}\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}x&y\\w&z\end{bmatrix}\begin{bmatrix}\cos\theta\\\sin\theta\end{bmatrix}$
注意到$2x=a, 2w=\sqrt3a$
故令$w=\sqrt3x$
又$\begin{bmatrix}x&y\\\sqrt3x&z\end{bmatrix}$為一旋轉或鏡像矩陣
$\begin{bmatrix}\cos\theta&\sin\theta\\\sin\theta&-\cos\theta\end{bmatrix}$或$\begin{bmatrix}\cos\theta&-\sin\theta\\\sin\theta&\cos\theta\end{bmatrix}$
$\theta=\cfrac\pi3, \cfrac{4\pi}3$
剩餘自己討論:D

### EE0702 (反 矩陣乘法)
$Y=X\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}X^{-1}$
$=\begin{bmatrix}2&-1\\1&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}2&0\\0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\-1&2\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}4&-1\\2&0\end{bmatrix}\begin{bmatrix}0&1\\-1&2\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}1&2\\0&2\end{bmatrix}$

### EE0605 (性質證明)*

### EE0502 (矩陣對角化)
$B=A\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}A^{-1}$
$=\cfrac12\begin{bmatrix}1&1\\2&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&3\end{bmatrix}\cfrac1{-1}\begin{bmatrix}-1&-\cfrac12\\-1&\cfrac12\end{bmatrix}$
$=\cfrac1{-2}\begin{bmatrix}1&3\\2&-6\end{bmatrix}\begin{bmatrix}-1&-\cfrac12\\-1&\cfrac12\end{bmatrix}$
$=\cfrac1{-2}\begin{bmatrix}-4&1\\4&-4\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}2&-0.5\\-2&2\end{bmatrix}$

$B^n=A(A^{-1}BA)^nA^{-1}$
$=\cfrac12\begin{bmatrix}1&1\\2&-2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0\\0&3^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\cfrac12\\1&-\cfrac12\end{bmatrix}$
$=\cfrac12\begin{bmatrix}1&3^n\\2&-2\times3^n\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&\cfrac12\\1&-\cfrac12\end{bmatrix}$
$=\cfrac12\begin{bmatrix}3^n+1&\cfrac{1-3^n}2\\2-2\times3^n&1+3^n\end{bmatrix}$
$=\begin{bmatrix}\cfrac{3^n+1}2&\cfrac{1-3^n}4\\1-3^n&\cfrac{3^n+1}2\end{bmatrix}$

### EE0508 (線性變換)*

### EE0402 (排列組合與機率?)*

### CS1605 (觀察題)

### CS1608 (?)
Hint:$M_1^{-1}=\begin{bmatrix}1&0&0&0\\2&1&0&0\\3&0&1&0\\4&0&0&1\end{bmatrix}$

### CS1407 (通靈)

### CS1305 (?)
Hint:炸開

### CS1306 (?)*

### CS1311 (下三角矩陣性質 高斯消去法)

### CS1206 (?)*

### CS1207 (三階反矩陣)*

### CS1120 (行列式性質)*

### CS0917 (四階反矩陣)*

### CS0918 (CH定理)

### CS0919 (降維打擊)*

### CS0920 (轉置矩陣性質?)*

### CS0801 (基礎題)

### CS0808 (根與係數 四階行列式)*

### CS0819 (根與係數 四階行列式)

### CS0707 (旋轉矩陣)

### CS0708 (三階反矩陣)

### CS0608 (行列式性質)*

### CS0401 (降維打擊)*

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