# 二階數學補充-微積分a積分

## 複習數甲
### 微積分基本定理
> $f(x)$為區間$[a, b]$上的連續函數
> 令$g(x)=\int^x_af(t)dt,\ a\leq x\leq b$
> 則$g(x)$為區間$(a,b)$上的可微分函數
> 且$g'(x)=f(x)$

## 基本積分表
### ax+b們
$\int(ax+b)^ndx = \cfrac{(ax+b)^{n+1}}{a(n+1)}+C$

$\int\cfrac1{ax+b}dx = \cfrac1a\ln|ax+b|+C$

### 三角函數們
$\int\cos xdx = \sin x+C$

$\int\sin xdx = -\cos x+C$

$\int\sec^2 xdx = \tan x+C$

$\int\csc^2 xdx = -\cot x+C$

$\int\sec x\tan xdx = \sec x+C$

$\int\csc x\cot xdx = -\csc x+C$

$\int\tan xdx = -\ln|\cos x|+C$

$\int\cot xdx = \ln|\sin x|+C$

$\int\sec xdx = \ln|\sec x+\tan x|+C$

$\int\csc xdx = \ln|\csc x-\cot x|+C$

$\int\cfrac1{x^2+\alpha^2}dx = \cfrac{\arctan(\cfrac x\alpha)}\alpha+C$

### 指對數們
$\int e^xdx = e^x+C$

$\int \alpha^xdx = \cfrac{\alpha^x}{\ln\alpha}+C$

$\int xe^{\alpha x}dx = \cfrac1{\alpha^2}(\alpha x-1)e^{\alpha x}+C$

$\int \ln xdx = x\ln x-x+C$

$\int \log_\alpha xdx = \cfrac1{\ln\alpha}(x\ln x-x)+C$

$\int \cfrac1{x\ln x}dx = \ln(\ln x)+C$

## 小技巧們
可能大學才用的到

### 和差化積/積化和差
以下只推導第一條 後面皆可用類似方法推得
- $\sin\alpha\cos\beta$
$=\cfrac{2\sin\alpha\cos\beta}2$
$=\cfrac{\sin\alpha\cos\beta+\cos\alpha\sin\beta+\sin\alpha\cos\beta-\cos\alpha\sin\beta}2$
$=\cfrac{\sin(\alpha+\beta)+\sin(\alpha-\beta)}2$

- $\cos\alpha\sin\beta$
$=\cfrac{\sin(\alpha+\beta)-\sin(\alpha-\beta)}2$

- $\cos\alpha\cos\beta$
$=\cfrac{\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}2$

- $\sin\alpha\sin\beta$
$=\cfrac{-\cos(\alpha+\beta)+\cos(\alpha-\beta)}2$

### 變數代換
- $\int\cfrac x{\sqrt{x^2+9}}dx=?$

> 解:
> 令$u=x^2+9$
> $du=2xdx$
> 原式$=\int\cfrac{\cfrac{du}2}{\sqrt u}$
> $=\int\cfrac1{2\sqrt u}du$
> $=\sqrt u+C$
> $=\sqrt{x^2+9}+C$

### 三角代換
- $\int^2_0\cfrac1{\sqrt{9-x^2}}dx=?$

> 解:
> 令$\sin\theta=\cfrac x3$
> $\cos\theta d\theta=\cfrac13dx$
> 原式$=\int^2_0\cfrac1{3\sqrt{1-(\cfrac x3)^2}}dx$
> $=\int^{\arcsin\cfrac23}_0\cfrac{3\cos\theta}{3\sqrt{1-\sin^2\theta}}d\theta$
>
> $=\int^{\arcsin\cfrac23}_0\cfrac{\cos\theta}{\cos\theta}d\theta$
>
> $=\int^{\arcsin\cfrac23}_01d\theta$
> $=\arcsin\cfrac23$

### 分部積分
==$\int udv=uv-\int vdu$==
- $\int x\cos x\ dx=?$

> 解:
> 令$u=x,\ v=\sin x$
> $du=dx,\ dv=\cos xdx$
> 原式$=\int udv$
> $=uv-\int vdu$
> $=x\sin x-\int\sin xdx$
> $=x\sin x+\cos x+C$

#### LIATE/DETAIL法則(補充)
來自維基
因為很酷我就寫下來ㄌ

> 處理分部積分時 依LIATE的順序 取第一個出現的作為$u$ 下一個出現的為$dv$

- L:對數函數
- I:反三角函數
- A:代數(多項式)函數
- T:三角函數
- E:指數函數

> 範例:$\int x\ln x\ dx$
> 取$u=\ln x, dv=x\ dx$
> $du=\cfrac1x\ dx, v=\cfrac12x^2$
> $\int udv=uv-\int vdu$
> $=\cfrac12x^2\ln x-\int \cfrac12x^2\times\cfrac1xdx$
> $=\cfrac12x^2\ln x-\cfrac14x^2$

### 部分分式
- $\int \cfrac{7x+2}{x^2-5x+6}dx=?$

> 解:
> 先將$\cfrac{7x+2}{x^2-5x+6}=\cfrac{7x+2}{(x-3)(x-2)}$化成$\cfrac A{x-3}+\cfrac B{x-2}$的形式
>
> 則$A=23,\ B=-16$
> $\int \cfrac{7x+2}{x^2-5x+6}dx$
> $=\int(\cfrac{23}{x-3}+\cfrac{-16}{x-2})dx$
> $=23\ln|x-3|-16\ln|x-2|+C$

## 寫寫考古

### EC2019 (積分)
考慮$\int^2_1\cfrac1xdx=\ln x|^2_1=\ln2$

### EE1707 (積分)

#### 圖解法:

#### 數學歸納正規解:
我們目標證明$1+\cfrac12+\cfrac13+...+\cfrac1{n-1}>\ln n$
$n=2$時
$1>\ln2$顯然成立

設$n=k$時成立
故有$1+\cfrac12+\cfrac13+...+\cfrac1{k-1}>\ln k$---==式1==

$n=k+1$時
證明:$\cfrac1k>\ln\cfrac{k+1}k$---==式2==
$\because e>(1+\cfrac1k)^k$
$\therefore e^{\cfrac1k}>1+\cfrac1k=\cfrac{k+1}k$
$\ln e^{\cfrac1k}=\cfrac1k>\ln\cfrac{k+1}k$

將式1式2相加即可知$n=k+1$時亦成立
by數學歸納法得證

### CS1313* (積分 變數代換)

令$u=x^3+5x+3$
$du=(3x^2+5)dx$

$\int_{x=0}^{x=1}\cfrac{3x^2+5}{2\sqrt{x^3+5x+3}}dx$
$=\int_{x=0}^{x=1}\cfrac{du}{2\sqrt u}$
$=\sqrt u|_{x=0}^{x=1}$
$=\sqrt{x^3+5x+3}|_{x=0}^{x=1}$
$=3-\sqrt3$

## 學學建中

### Q7 積分-積化和差
- $\int^{\cfrac{\pi}2}_0\sin x\cos 3x dx=?$

> 解:
> $\sin x\cos 3x$
> $=\cfrac{2\sin x\cos 3x}2$
> $=\cfrac{(\sin x\cos 3x+\sin 3x\cos x)+(\sin x\cos 3x-\sin 3x\cos x)}2$
> $=\cfrac{\sin 4x-\sin 2x}2$
>
> $\int^{\cfrac{\pi}2}_0\cfrac{\sin 4x-\sin 2x}2dx$
> $=\cfrac{-\cos4x}8+\cfrac{\cos 2x}4|^{\cfrac{\pi}2}_0$
> $=(-\cfrac18-\cfrac14)-(-\cfrac18+\cfrac14)$
> $=-\cfrac12$

### Q8 積分-tantan
- $\int^{\cfrac{\pi}4}_0\tan^2 x dx=?$

> 解:
> $=\int^{\cfrac{\pi}4}_0\cfrac{\sin^2 x}{\cos^2 x} dx$
> $=\int^{\cfrac{\pi}4}_0\cfrac{1-\cos^2 x}{\cos^2 x} dx$
> $=\int^{\cfrac{\pi}4}_0(\sec^2 x-1) dx$
> $=(\tan x-x)|^{\cfrac{\pi}4}_0$
> $=1-\cfrac\pi4$

### Q9 積分-tan
- $\int^{\cfrac{\pi}3}_0\tan x dx=?$

> 解:
> 令$u=\cos x$
> $du = -\sin x dx$
> 原式$=\int^{\cfrac{\pi}3}_0\cfrac{\sin x}{\cos x} dx$
> $=\int^{\cfrac12}_1\cfrac{-1}udu$
> $=\int^1_{\cfrac12}\cfrac1udu$
> $=\ln u|^1_\cfrac12$
> $=\ln2$

### Q10 積分-三倍角
- $\int^\cfrac{\pi}2_0 \sin^3 x dx=?$

> 解:
> $\sin 3x=3\sin x-4\sin^3x$
> $\rightarrow\sin^3x=\cfrac34\sin x-\cfrac14\sin3x$
> 原式$=\int^\cfrac\pi2_0(\cfrac34\sin x-\cfrac14\sin3x)dx$
> $=(-\cfrac34\cos x+\cfrac1{12}\cos3x)|^\cfrac\pi2_0$
> $=(0)-(-\cfrac34+\cfrac1{12})$
> $=\cfrac23$

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