# 二階數學補充-不等式

## 複習(?)高中
### 算幾不等式
> $\cfrac{a+b}2\ge\sqrt{ab}$

當然也可以更進一步衍伸

> $\cfrac{a+b+c}3\ge\ ^3\sqrt{abc}$

> $\cfrac{a+b+c+d}4\ge\ ^4\sqrt{abcd}$

#### 證明?
二元用$(a-b)^2\ge0$
$2^n$項可以用二元推
其他用$2^n$推

### 科西不等式
> $(a^2+b^2)(c^2+d^2)\ge(ac+bd)^2$

#### 證明?
痾 向量吧

#### 廣義科西不等式

所有變數都要是正實數
> $(a+b+c)(d+e+f)(g+h+i)\ge(^3\sqrt{adg}+^3\sqrt{beh}+^3\sqrt{cfi})^3$

也可以更多元喔

#### 練習:三角函數
- 若$\theta$為銳角，求$\cfrac{27}{\sin\theta}+\cfrac{64}{\cos\theta}的最小值$

Hint:$27=3^3, 64=4^3$

### 三角不等式
> $|a|+|b|\ge|a+b|$

我不會用

### 偏微分
> 把其他變數都當係數&常數

- $\cfrac{\partial{}}{\partial{y}}(x^2+xy+y^3+1)$
$=\cfrac{\partial{}}{\partial{y}}(y^3+xy+(x^2+1))$
$=3y^2+x$

### 拉格朗日乘數
直接看例子比較好懂
因為我看不懂原理

- $\lambda=-y$
$\rightarrow \Phi=-y^3+y$
$\rightarrow-3y^2+1=0$
$\rightarrow y=\pm\sqrt{\cfrac13}$取負
$\Phi=-\cfrac2{3\sqrt3}$

$x^2=-2\lambda y$的條件就不用理ㄌ

## 寫寫考古

### EC2105 (算幾)
$z=3^{2x}+3^y\ge2\sqrt{3^{2x+y}}=18$

### EC2111 (線性規劃)

### EC2002 (算幾)

### CS1802 (通靈)
- ==解1==:通靈難度低 但拿不到滿分
令$k=\cfrac12\times\cfrac34\times\cfrac56\times...\times\cfrac{99}{100}$
$k<\cfrac23\times\cfrac45\times\cfrac67\times...\times\cfrac{100}{101}$
$k^2<\cfrac1{101}$
$\rightarrow$可選ABC

- ==解2==
令$k=(\cfrac12\times\cfrac34\times\cfrac56)\times\cfrac78\times...\times\cfrac{99}{100}$
$k<(\cfrac12\times\cfrac34\times\cfrac56)\times\cfrac89\times...\times\cfrac{100}{101}$
$k^2<(\cfrac{1\times3\times5}{2\times4\times6})^2\times\cfrac7{101}$
$k<\cfrac{1\times3\times5}{2\times4\times6}\times\sqrt{\cfrac1{\cfrac{101}7}}=\sqrt{\cfrac1{\cfrac{25856}{175}}}<12$
$\rightarrow$可以選ABCD

### CS1814 (pi^2/6 夾擠)
$1+\sum_{k=2}^n\cfrac1{k^2}<1+\sum_{k=2}^n\cfrac1{k(k-1)}=1+1-\cfrac12+\cfrac13-\cfrac14+...=1+\ln2<2+\cfrac1n$

### EE1702 (算幾)

### CS1701 (可微分)
$f(x)=\cos4\theta-4\sin^2\theta$
$f'(x)=-4\sin4\theta-8\sin\theta\cos\theta=0$
$\sin4\theta=-\sin2\theta\rightarrow\theta=\pi/3$
$f(0)=1$
$f(\pi/3)=-7/2$
$f(3\pi/4)=-3$

### CS1704 (疊合)
所求$=\sin\theta+\cos\theta=\sqrt2\sin(\theta+\pi/4)$ (銳角)

### CS1615 (算幾)
$a^2+ab+ac+bc=(a+b)(a+c)$
$\cfrac{(a+b)+2(a+c)}2\ge\sqrt{2(a+b)(a+c)}=\sqrt{12+2\sqrt{}20}=\sqrt{10}+\sqrt2$

### EE1502 (牛頓法&?)*
==(a)==
$6x^4+11x^3-15x^2+2=0$
$\rightarrow2(\cfrac1x)^4-15(\cfrac1x)^2+11(\cfrac1x)+6=0$

較易找出$\cfrac1x=2$
$6x^4+11x^3-15x^2+2=(2x-1)(3x^3+7x^2-4x-2)=(2x-1)(3x+1)(x^2+2x-2)=(2x-1)(3x+1)(x-(-1+\sqrt3))(x-(-1-\sqrt3))$

### CS1312 ()

### CS1314 (配方)
$A+B-C=2(A+B)$
$\cfrac12A^2-2A+2+\cfrac12B^2-2B+2-4$
$=\cfrac12(A-2)^2+\cfrac12(B-2)^2-4\ge-4$

### CS1208 (距離)

### CS1209 (二次函數公式解)

### CS1108 (柯西/微分)
$((16-4x)+(4x-7))(\cfrac14+1)\ge(\sqrt{4-x}+\sqrt{4x-7})^2$
$9\times\cfrac54\ge(\sqrt{4-x}+\sqrt{4x-7})^2$
$\cfrac{3\sqrt5}2\ge\sqrt{4-x}+\sqrt{4x-7}$

### CS1110 (二次函數圖形)

### EE1004 (二次函數極值)

### EE1005 (柯西/偏微分)

### CS1005 (判別式)
令$t=\cfrac{2x+3}{x^2+x+1}\rightarrow tx^2+(t-2)x+(t-3)=0$
$x\in R\rightarrow$判別式$D=(t-2)^2-4t(t-3)=-3t^2+8t+4\ge0$
$\rightarrow(t-\cfrac{8+\sqrt{112}}6)(t-\cfrac{8-\sqrt{112}}6)\le0$

### CS1006 (二次函數判別式)
令$t=\cfrac yx$
$x^2(1+\cfrac yx+(\cfrac yx)^2)=1\rightarrow x^2=\cfrac1{1+t+t^2}$
令$k=x^2-3xy-2y^2=x^2(1-3t-2t^2)=\cfrac{1-3t-2t^2}{1+t+t^2}$

### CS1007 (8<9不等式)
- $x>4\rightarrow2(x-2)>x$, 所以將5以上的數盡可能拆成2
- $4=2\times2$, 因此將4拆成2+2不影響(所以也盡可能拆成2)$\rightarrow$最終全剩下2和3
- $3\times3>2\times2\times2$, 因此將3個2換成2個3

### CS1016 ()

### EE0907 (三角函數)

### EE0505 ()

### CS0905 (倒數)
$\cfrac{21}{10}>\cfrac{x+y}{x}>\cfrac{23}{11}$
$\cfrac{11}{10}>\cfrac{y}{x}>\cfrac{12}{11}$
$\cfrac{132}{120}>\cfrac{y}{x}>\cfrac{132}{121}$

### CS0912 ()

### CS0915 ()

### CS0916 ()

### CS0805 ()

### CS0806 ()

### CS0807 ()

### CS0706 (柯西)

### CS0609 (微分練習?)

### CS0203 ()

### CS0213 (畫圖暴力解?)

### CS0214 ()

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