# 二階數學補充-微積分a微分

## 複習數甲

### 猜猜誰收斂
- $\lim_{n\rightarrow\inf}\cfrac{2^n}{n^2}$
- $\lim_{n\rightarrow\inf}\cfrac{n^2}{2^n}$
- $\lim_{n\rightarrow\inf}\cfrac{\sqrt n}{\ln n}$
- $\lim_{n\rightarrow\inf}(1+\cfrac{1}{n})^n$
- $\lim_{n\rightarrow0}(1+n)^\cfrac{1}{n}$
- $\sum_{n\rightarrow\inf}\cfrac{1}{n}$
- (補充 不用記)$\sum_{n\rightarrow\inf}\cfrac{1}{n^2}$

### odds & ends(X) evens(O)
(左邊)偶函數:==$f(x)=f(-x)$==
(右邊)奇函數:==$f(x)=-f(-x)$==

### 反函數
> 兩個函數對$L:y=x$對稱

### 中間值定理(函數)
> 連續函數$f(x)$
> 對於所有$k\in (f(a), f(b))$
> 必能找到一個$c\in (a, b)$
> 滿足$f(c)=k$

如果要從海平面爬到玉山山頂
一定要經過山腰

> 勘根定理:
> 連續函數$f(x)$
> 若$f(a)\times f(b)<0$
> $\rightarrow(a,b)$之間至少有一實根$c$ 滿足$f(c)=0$

### 中間值定理(導數)
> 一多項式函數$f(x)$
> 對於$k=\cfrac{f(a)-f(b)}{a-b}$
> 必能找到一個$c\in (a, b)$
> 滿足$f'(c)=k$

## 追求極限
### 切線的極限是微分
> $f'(x)=\lim_{\Delta x\rightarrow0}\cfrac{f(x+\Delta x)-f(x)}{\Delta x}$

### 求極限的方法是微分

> 羅必達法則(L'Hopital's Rule):
> 若$f(a)=g(a)=0, f'(a)$和$g'(a)$存在且$g'(a)\not=0$
> 則$\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f(x)}{g(x)}=\lim_{x\rightarrow a}\cfrac{f'(x)}{g'(x)}$

#### 不定形
以下的case都能轉換成可以羅的分數形式
> $\cfrac{0}{0}, \cfrac{\infty}{\infty}, \infty\times0, \infty-\infty, \infty^0, 0^0, 1^\infty$

其中$\cfrac{\infty}{\infty}$的case可以直接上下開微

#### 範例:0/0形
$\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{1-\cos x}{x^2}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\sin x}{2x}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\cos x}{2}$

$=\cfrac12$

### 求極限的方法是變成多項式

> 泰勒展開式:
> $f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\cfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n$
> 其中$f^{(n)}$代表$f$微n次
> 且$0!=1$

通常$a$都代0

#### 三角函數泰勒展開
- $\sin x=x-\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^5}{5!}-\cfrac{x^7}{7!}+...$
- $\cos x=1-\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^4}{4!}-\cfrac{x^6}{6!}+...$

#### 其他常用泰勒展開
- 當$x\rightarrow0$時, $(1+x)^n\approx 1+nx$
- $e^x=1+x+\cfrac{x^2}{2!}+\cfrac{x^3}{3!}+\cfrac{x^4}{4!}+...$
- $\cfrac1{1-x}=1+x+x^2+x^3+x^4+...$

#### 範例:三角函數
$\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{1-\cos x}{x^2}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{1-(1-\cfrac{x^2}{2!})}{x^2}$

$=\lim_{x\rightarrow0}\cfrac{\cfrac{x^2}{2!}}{x^2}$

$=\cfrac12$

## 寫寫考古

### EC2108 (極限)
>一個常見的遞迴式極限解法:
假設極限是k
把k帶進去遞迴式
應該還是要得到k(畢竟他是極限)

已知收斂到一點$\rightarrow(a_n, b_n)=(a_{n+1}, b_{n+1})=(a, b)$
帶進遞迴式
故有
$a=\cfrac{a-\sqrt2-1}{\sqrt{(a-\sqrt2-1)^2+(b-\sqrt2-1)^2}}+\sqrt2+1$

$a=\cfrac{a-1}{\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2}}+1$
先處理後者
移項整理
$a-1=\cfrac{a-1}{\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2}}$
同除以$(a-1)$
$1=\cfrac{1}{\sqrt{(a-1)^2+(b-1)^2}}$

${(a-1)^2+(b-1)^2}=1\leftarrow$==式1==
類似的整理第一條遞迴式 可以得到以下結果:
$(a-\sqrt2-1)^2+(b-\sqrt2-1)^2=1\leftarrow$==式2==
兩式相減
$((a-1)^2+(b-1)^2)-((a-\sqrt2-1)^2+(b-\sqrt2-1)^2)=1-1$

$2\sqrt2a+2\sqrt2b-4-4\sqrt2=0$

$a+b=\cfrac{4+4\sqrt2}{2\sqrt2}=2+\sqrt2$

$a+b-\sqrt2=2$

### EC2115 (微分)

$f(x)=\cfrac1x$
設$C(t, \cfrac1t)$
(痾我這裡寫$P$ 隨便啦)

紅線是$C$點的切線
切線斜率$f'(t)=-\cfrac1{x^2}=-\cfrac1{t^2}$

紅線方程式$\rightarrow(y-\cfrac1t)=-\cfrac1{t^2}(x-t)$
與$x, y$軸分別交於$(0, \cfrac2t), (2t, 0)$
可以注意到
如果三角形有一頂點$A$落在紅線和$x, y$軸圍成的區域外
則$\bar{AC}$會變成$xy=1$的割線 不符合題目要求
因此我們要找的三角形又更進一步限制在$(0, 0), (0, \cfrac2t), (2t, 0)$裡

#### 討論

---

狀況1:==$A(x,0)$在$P$的左邊 $(x<t)$==
我們以$\bar{AP}$為三角形的底可以發現
如果我們把$B$點沿著$y$軸移動到$(0, \cfrac2t)$
三角形的高就會越來越大$\rightarrow$面積越來越大

現在$B(0,\cfrac2t)$在$P$的上面$(\cfrac2t>\cfrac1t)$
我們固定$\bar{BP}$為三角形的底可以發現
如果我們把$A$點沿著$x$軸移動到$(0, 0)$
三角形的高就會越來越大$\rightarrow$面積達到最大$=\cfrac12\times\cfrac2t\times t=1$

---

狀況2:==$A(x,0)$在$P$的右邊 $(x>t)$==
我們以$\bar{AP}$為三角形的底可以發現
如果我們把$B$點沿著$y$軸移動到$(0, 0)$
三角形的高就會越來越大$\rightarrow$面積越來越大

現在$B(0,0)$在$P$的下面$(0<\cfrac1t)$
我們固定$\bar{BP}$為三角形的底可以發現
如果我們把$A$點沿著$x$軸移動到$(2t, 0)$
三角形的高就會越來越大$\rightarrow$面積達到最大$=\cfrac12\times2t\times\cfrac1t=1$

---

狀況3:==$A(x,0)$在$P$的正下方 $(x=t)$==
面積再怎麼大也只能是$\cfrac12\times t\times\cfrac1t=\cfrac12$

綜上所述 面積最大值$=1$

### EC2003 (極限)
>一個常見的遞迴式極限解法:
假設極限是k
把k帶進去遞迴式
應該還是要得到k(畢竟他是極限)

$k=\cfrac12(k+\cfrac2k)$
$k=\sqrt2$(負不合)

### EC1909* (痾 微分?)

- **(1)** 用(3)反證 後面會解釋
- **(2)(3)(4)** 需要知道$x=a^x$在何時會有根


- 由上圖可知 在$a=e^{\cfrac1e}\approx1.445$時會剛好有一根
$a>e^{\cfrac1e}$時無實根
$a<e^{\cfrac1e}$時有兩實根

<-此為$y=x, y=\sqrt2^x$的圖

#### 討論

---

狀況1:==0<x<2==

此時$y=\sqrt2^x$的圖形在$y=x$上方
$\rightarrow\sqrt2^x>x$
$\rightarrow2>\sqrt2^x>x$
$\rightarrow2>\sqrt2^{(\sqrt2^x)}>\sqrt2^x$
$\rightarrow$收斂到2

---

狀況2:==2<x<4==

此時$y=\sqrt2^x$的圖形在$y=x$下方
$\rightarrow\sqrt2^x<x$
$\rightarrow2<\sqrt2^x<x<4$
$\rightarrow2<\sqrt2^{(\sqrt2^x)}<\sqrt2^x<4$
$\rightarrow$收斂到2

此case亦可證明 **(1)** 選項之錯誤(因為他遞減了)

---

狀況3:==x>4==

此時$y=\sqrt2^x$的圖形在$y=x$上方
$\rightarrow\sqrt2^x>x$
$\rightarrow\sqrt2^x>x>4$
$\rightarrow\sqrt2^{(\sqrt2^x)}>\sqrt2^x>4$
$\rightarrow$沒有上界 不會收斂

---

狀況4:==a=1.5==

此時$(\cfrac32)^x>x$恆成立
$\rightarrow(\cfrac32)<(\cfrac32)^{(\cfrac32)}<(\cfrac32)^{(\cfrac32^\cfrac32)}<...$
$\rightarrow$沒有上限

### CS1814 (極限)
其實他就是問[前面這個](https://hackmd.io/YOFcQxNaQHiRr9YSlhaNaw?both#%E7%8C%9C%E7%8C%9C%E8%AA%B0%E6%94%B6%E6%96%82)最後一條的證明

$\cfrac11+\cfrac14+\cfrac19+\cfrac1{16}+...+\cfrac1{n^2}$
$\leq1+\cfrac1{1\times2}+\cfrac1{2\times3}+\cfrac1{3\times4}+...+\cfrac1{(n-1)\times n}$
$=1+(1-\cfrac12)+(\cfrac12-\cfrac13)+(\cfrac13-\cfrac14)+...+(\cfrac1{n-1}-\cfrac1n)$
$=2-\cfrac1n<2+\cfrac1n$

### CS1611 (偶函數定義)

$f(7.7)=\cfrac{-1}{f(5.7)}=f(3.7)=\cfrac{-1}{f(1.7)}=f(-0.3)=\cfrac{-1}{f(-2.3)}=\cfrac{-1}{f(2.3)}=\cfrac{-1}{2.3}$

### EE1405 (極限)
上界:
$\sqrt{12}<\sqrt{16}=4$
$\sqrt{12+\sqrt{12}}<\sqrt{12+\sqrt{16}}=4$
$\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{12}}}<\sqrt{12+\sqrt{12+\sqrt{16}}}=4$
...
故存在上界

設極限$=k$
$k=\sqrt{12+k}$
$k=4$

### CS1404 (奇函數性質)

$x^3$是奇函數, $\sqrt{1-x^2}$是偶函數
奇$\times$偶=奇
上下界以原點對稱$\rightarrow$積分值為$0$

### CS1405 (根號微分)

括號內的東西相當於$f(x)=\sqrt x$在$x=2$處的微分
$f'(2)=\cfrac1{2\sqrt x}=\cfrac1{2\sqrt2}$
$(\cfrac1{2\sqrt2})^{-2}=8$

### CS1302 (極限)

原式$=\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{\cfrac n2}\sqrt{1+\cfrac1n}\times\sqrt n(\sqrt{1+\cfrac1n}-1)$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac n{\sqrt2}\times\sqrt{1+\cfrac1n}(\sqrt{1+\cfrac1n}-1)$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac n{\sqrt2}\times(1+\cfrac1n-\sqrt{1+\cfrac1n})$
by泰勒展開 有$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt{1+\cfrac1n}=1+\cfrac1{2n}$
故$=\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac n{\sqrt2}\times(1+\cfrac1n-1-\cfrac1{2n})$
$=\lim_{n\rightarrow\infty}\cfrac n{\sqrt2}\times\cfrac1{2n}$
$=\cfrac1{2\sqrt2}$

### CS1309 (分項對消)

## 學學建中
以下是振祐精選10題

### Q1 微分-鏈鎖律與對數
- $f(x)=\log_3(\sin x)$, 求$f'(x)=?$

> 解:令$u=\sin x$
> $\cfrac{du}{dx}=\cos x$
> $f(x)=\log_3(\sin x)=\cfrac{\ln\sin x}{\ln3}$
>
> $\cfrac{df(x)}{dx}$
> $=\cfrac{df(x)}{d\sin x}\cfrac{d\sin x}{dx}$
> $=\cfrac{\csc x}{\ln3}\times\cos x$
> $=\cfrac{\cot x}{\ln3}$

### Q2 微分-鏈鎖律與指數
- $f(x)=10^{(x^2)}$, 求$f'(x)=?$

> 解:令$u=x^2\ln10$
> $\cfrac{du}{dx}=2x\ln10$
> $f(x)=10^{(x^2)}=e^{\ln10^{(x^2)}}=e^{x^2\ln10}=e^u$
>
> $\cfrac{df(x)}{dx}$
> $=\cfrac{df(x)}{du}\cfrac{du}{dx}$
> $=e^u\times2x\ln10$
> $=2x10^{(x^2)}\ln10$

### Q3 極限-羅必達法則
- $\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{e^x}{x^3}=?$

> 解:此為$\cfrac\infty\infty$的不定型
> $\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{e^x}{x^3}$
> $=\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{e^x}{3x^2}$
> $=\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{e^x}{6x}$
> $=\lim_{x\rightarrow\infty}\cfrac{e^x}{6}$
> $=\infty$

### Q4 極限-e的運用
- $\lim_{x\rightarrow0^+}x^x=?$

> 解:$\lim_{x\rightarrow0^+}x^x$
> $=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{\ln(x^x)}$
> $=\lim_{x\rightarrow0^+}e^{x\ln x}$
> $=e^{\lim_{x\rightarrow0^+}x\ln x}$
> $=e^{\lim_{x\rightarrow0^+}\cfrac{\ln x}{\cfrac1x}}$ (此為$\cfrac\infty\infty$的不定形)
> $=e^{\lim_{x\rightarrow0^+}\cfrac{\cfrac1x}{-\cfrac1{x^2}}}$
> $=e^{\lim_{x\rightarrow0^+}-x}$
> $=1$

### Q5 微分-定義與分段討論
- 證明$f(x)=x|x|$可微

> 解:
> 在0點右邊:$f(x)=x^2$可微
> 在0點左邊:$f(x)=-x^2$可微
> 在0點:
> <1>$f(0)=\lim_{x\rightarrow0^+}f(x)=\lim_{x\rightarrow0^-}f(x)$沒有斷點
> <2>$f'(0)=\lim_{x\rightarrow0^+}f'(x)=\lim_{x\rightarrow0^-}f'(x)=0$曲線平滑且0點可微

### Q6 極限-泰勒展開/變數代換
- $\lim_{x\rightarrow1}\cfrac{^3\sqrt x-1}{^5\sqrt x-1}=?$

> 解1:泰勒展開
> 令$1+u=x$
> $x\rightarrow1, u\rightarrow0$
> 原式$=\lim_{u\rightarrow0}\cfrac{^3\sqrt{1+u}-1}{^5\sqrt{1+u}-1}$
> $=\lim_{u\rightarrow0}\cfrac{(1+u)^{\cfrac13}-1}{(1+u)^{\cfrac15}-1}$
> $\because u\rightarrow0$
> $\therefore (1+u)^a\approx1+au$
> $=\lim_{u\rightarrow0}\cfrac{(1+\cfrac13u)-1}{(1+\cfrac15u)-1}$
> $=\cfrac53$

> 解2:變數代換
> 令$u=x^{\cfrac1{15}}$
> 原式=$\lim_{u\rightarrow1}\cfrac{u^5-1}{u^3-1}$
> $=\lim_{u\rightarrow1}\cfrac{(u-1)(u^4+u^3+u^2+u+1)}{(u-1)(u^2+u+1)}$
> $=\lim_{u\rightarrow1}\cfrac{(u^4+u^3+u^2+u+1)}{(u^2+u+1)}$
> $=\cfrac53$

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