---
# System prepended metadata

title: '一下U1,2'
tags: [學競, 數學]

---

# 一下U1,2
- 預計會寫重要觀念 , 易、中、難各舉一題來講
- 可能會超範圍補充 , 自行斟酌
![](https://i.imgur.com/4kSIOxr.png)

## Ch 1.數列與級數
### 數列們
#### 1.找規律數列 ~~aka 通靈數列~~

#### 2.等差數列
- 公差$d=a_{n+1}-a_n$ , 可以是0
- $a_n=a_1+d(n-1)$
- 數列和(級數)$S_n=a_1+a_2+...+a_n=\dfrac{n(a_1+a_n)}{2}=\dfrac{n[2a_1+d(n-1)]}{2}$
- 根據上式 , $a_n=S_n-S_{n-1}$
- $S_n,S_{2n}-S_{n},S_{3n}-S_{2n},...$也是等差數列 , 公差 $=n\times d$

#### 3.等比數列
- $a_n\neq 0$
- 公比$r=\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\neq0$ , 但==可以是1== , 此時數列等差且等比
- $a_n=a_1\times r^{n-1}$
- if $r\neq 1$ , $S_n=\dfrac{a_1(r^n-1)}{r-1}$
else $S_n=na_1$

### 應用：利率
設本金為$A$元 , 每期利率為$r$

#### 1.單利
- $t$期後的本利和$=A+(Ar)t=A(1+rt)$

#### 2.複利
- $t$期後的本利和$=A(1+r)^t$

### 吸個麻
#### 運算規則
- $\sum$裡面的東西==加減可以拆 乘除不能拆==
- 即：$\sum(a_n\pm b_n)=\sum a_n\pm \sum b_n$ , 但$\sum(a_n\times b_n)$通常$\neq\sum a_n\times \sum b_n$

#### 1次方
- $\sum_{k=1}^{n} k=\dfrac{n(n+1)}{2}$

#### 2次方
- $\sum_{k=1}^{n} k^2=\dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

#### 3次方
- $\sum_{k=1}^{n} k^3=(\dfrac{n(n+1)}{2})^2=(\sum_{k=1}^{n} k)^2$

#### 4次方
哈哈我沒背啦
- $\sum_{k=1}^{n} k^4=\dfrac{6n^5+15n^4+10n^3-n}{30}$

### 數學歸納法
- 證明$n=1$成立 (其實不一定要1 , 反正有個底限就好)
- 假設$n=k$成立 , 證明$n=k+1$成立 ($k\in \mathbb{N}$)
- 即證明對於所有$n\in \mathbb{N}, n\ge$步驟1所設底限 皆成立

#### 飯粒
**Question)** 若$n\in\mathbb{N}$ , 證明$8^n+6$被7整除。
:::spoiler Solution 1 , 使用數學歸納法
![](https://i.imgur.com/wLJ8IRt.png)
:::
:::spoiler Solution 2 , 使用同餘
![](https://i.imgur.com/VvG82uA.png)
:::

### 題目們
**Q1.**
:::spoiler 題目(易)
等比數列<$a_n$> , 已知$a_1+a_2=6 , a_3+a_4=24$ , 求$a_6$之值
:::
:::spoiler 解答
![](https://i.imgur.com/maHTYYo.png)
Ans:==64或192==
:::
\
**Q2.**
:::spoiler 題目(中)
設一凸$n$邊形各內角度數由小而大成等差 , 已知最小角是$120^{\circ}$ , 公差是$5^{\circ}$ , 求$n=?$
:::
:::spoiler 解答
![](https://i.imgur.com/RwsHbvc.png)
Ans:==$n=9$==
:::
\
**Q3.**
很噁 我先道歉
:::spoiler 題目(難)
因為你已經知道4次方sigma公式了 , 所以這題我們來求==5次方公式==
如果忘記可以回去翻講義
因為$(x+1)^6-x^6=6x^5+15x^4+20x^3+15x^2+6x+1$對於任意$x$值均成立
取$x=1,2,3,...,n$帶入可得
$\begin{cases}
2^6-1^6=6\cdot 1^5+15\cdot 1^4+20\cdot 1^3+15\cdot 1^2+6\cdot 1+1 \\
3^6-2^6=6\cdot 2^5+15\cdot 2^4+20\cdot 2^3+15\cdot 2^2+6\cdot 2+1 \\
4^6-3^6=6\cdot 3^5+15\cdot 3^4+20\cdot 3^3+15\cdot 3^2+6\cdot 3+1 \\
... \\
(n+1)^6-n^6=6\cdot n^5+15\cdot n^4+20\cdot n^3+15\cdot n^2+6\cdot n+1
\end{cases}$
相加可得$(n+1)^6-1^6=6\sum_{k=1}^{n} k^5+15\sum_{k=1}^{n} k^4+20\sum_{k=1}^{n} k^3+15\sum_{k=1}^{n} k^2+6\sum_{k=1}^{n} k+n$
移項整理可得$\sum_{k=1}^{n} k^5=\dfrac{n^6+6n^5+15n^4+20n^3+15n^2+6n-(15\sum_{k=1}^{n} k^4+20\sum_{k=1}^{n} k^3+15\sum_{k=1}^{n} k^2+6\sum_{k=1}^{n} k+n)}{6}$
若$\sum_{k=1}^{n} k^5=c_6n^6+c_5n^5+c_4n^4+c_3n^3+c_2n^2+c_1n+c_0$
求$c_0$~$c_6$各是多少?
:::

:::spoiler 解答
原題很長 , 所以我直接偷一中科學班的題目來抄
![](https://i.imgur.com/QxNWdMq.png)
這題基本上只是叫你化簡而已
我那年考試還要自己重推一遍
因為他給3次方的方法
叫我們求4次方= =
![](https://i.imgur.com/1Td4DqM.png)
當然你也可以找一個6次方程式滿足$f(1)=1^5,f(2)=1^5+2^5,...,f(7)=1^5+2^5+...+7^5$
只是這大概不會比較快

Ans:$\begin{cases}
c_0=0 \\
c_1=0 \\
c_2=-\dfrac{1}{12} \\
c_3=0 \\
c_4=\dfrac{5}{12} \\
c_5=\dfrac{1}{2} \\
c_6=\dfrac{1}{6}\\
\end{cases}$
:::

## 
*恭喜你撐過去了第一章
接下來歡迎來到背公式地獄*

## Ch.2 數據分析
### 定義和公式們
- 平均數$\mu$
> $\mu =\dfrac{x_1+x_2+...+x_n}{n}$
- 百分位數$P_k$ (假設$x_1$~$x_n$由小排到大)
> 定義:至少有$k$%數據小於或等於$P_k$ , 至少有$(100-k)$%數據大於或等於$P_k$
\
> 若$\dfrac{nk}{100}$為整數 , 則$P_k=\dfrac{x_{\dfrac{nk}{100}}+x_{\dfrac{nk}{100}+1}}{2}$
\
> 若$\dfrac{nk}{100}$不為整數 , 則$P_k=x_{\lceil \dfrac{nk}{100}\rceil}$
> 其中$\lceil \dfrac{nk}{100}\rceil$是上高斯符號 , 代表大於$\dfrac{nk}{100}$的最小整數
- 中位數$Me$
> $Me=P_{50}$
- 第1四分位數$Q_1$ & 第3四分位數$Q_3$
> $Q_1=P_{25}$ , $Q_3=P_{75}$
- 全距
> $=max-min$
- 四分位距
> $=Q_3-Q_1$
- 離均差
> $=x_i-\mu$
- 變異數$\sigma^2$ , $Var(X)$
> aka 離均差方的平均
> $\begin{aligned}
> \sigma^2&=\dfrac{(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+...+(x_n-\mu)^2}{n} \\
>         &=\dfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2}{n}-{\mu}^2
> \end{aligned}$
- ==標準差$\sigma$==
> $\begin{aligned}
> \sigma&=\sqrt{\dfrac{(x_1-\mu)^2+(x_2-\mu)^2+...+(x_n-\mu)^2}{n}} \\
>       &=\sqrt{\dfrac{{x_1}^2+{x_2}^2+...+{x_n}^2}{n}-{\mu}^2}
> \end{aligned}$
> \
> 標準差恆==非負==

### 數據的線型調整
設$y_i=ax_i+b$
- ${\mu}_y=a{\mu}_x+b$
- ${\sigma}_y=|a|{\sigma}_x$

### 標準化數據
設$y_i=\dfrac{x_i-{\mu}_x}{{\sigma}_x}$ , $y_i$稱為$x_i$的標準化數據
- ==${\mu}_y=0$==
- ==${\sigma}_y=1$==

### 相關性
- 正相關($r>0$)
![](https://i.imgur.com/PrMelRW.png)
- 負相關($r<0$)
![](https://i.imgur.com/PcgoKbF.png)
- 零相關/無關($r=0$)
![](https://i.imgur.com/0o5Nltp.png)
圖都是網路抓的

### 相關係數
#### 一些酷酷的記號
- $S_{xx}=\sum (x_i-{\mu}_x)^2$
- $S_{yy}=\sum (y_i-{\mu}_y)^2$
- $S_{xy}=\sum (x_i-{\mu}_x)(y_i-{\mu}_y)$
- 就是離均差積啦

#### ==相關係數$r$==
> $r=\dfrac{S_{xy}}{\sqrt{S_{xx}S_{yy}}}$

> $-1\le r\le 1$

#### 線型調整後的相關係數
若${x_i}^*=ax_i+b$ , ${y_i}^*=cy_i+d$
> 若$ac>0$ , 則$r^*=r$
> 若$ac<0$ , 則$r^*=-r$

### 最適直線(迴歸線方程式)
> $\begin{aligned}
> y-{\mu}_y&=\dfrac{S_{xy}}{S_{xx}}(x-{\mu}_x) \\
>          &=(\dfrac{{\sigma}_y}{{\sigma}_x}r)(x-{\mu}_x)
> \end{aligned}$

### 題目們
**Q1.**
:::spoiler 題目(易)
一組數據$(x_i,y_i),1\le i\le 10$ , 已知$S_{xx}=1000,S_{yy}=2250$ , 且迴歸線方程式為$y=0.6x+103$ , 求相關係數$r$
:::
:::spoiler 解答
![](https://i.imgur.com/22oOYEm.png)
Ans:==0.4==
:::
\
**Q2.**
:::spoiler 題目(中)
老師將100人的成績開平方根再$\times 10$作為正式成績
調整後平均65分 , 標準差15分
求調整前的平均分數$M$範圍?
A)$40\le M<41$
B)$41\le M<42$
C)$42\le M<43$
D)$43\le M<44$
E)$44\le M<45$
(from 94學測)
:::
:::spoiler 解答
哈哈又是偷來的
我就懶
影片中講得很詳細
連容易掉進去的陷阱以及為什麼這樣寫是錯的
都分析的很清楚
有空去看一下啦拜託
[來源:李祥數學](https://youtu.be/gjkJyI36JDs)
![](https://i.imgur.com/6wAjjFM.png)
Ans:==E==
\
題外話:
[這題](https://youtu.be/aJq4AfaCCpM)之前數學月考出現過
然後我直接背答案XD
:::
\
**Q3.**
:::spoiler 題目(~~難~~ 其實還是中)
我想不到難題 有人有想法麻煩提供給我 感恩
![](https://i.imgur.com/hSsUMIA.png)
(改自數據分析單元卷)
:::

:::spoiler 解答1
![](https://i.imgur.com/iSuWYhz.png)
Ans:==8.3==
:::
:::spoiler 解答2 (使用偏微分)
![](https://i.imgur.com/Bz4Yd8C.png)
Ans:==8.3==
:::

## 
*統計如果有把公式背熟就是最簡單的*

## Ch 3.排列組合與機率
東西有點多 會單獨寫一篇

## Ch 4.三角函數
~~誰跟你三角比 有夠難聽~~
東西有點多 會單獨寫一篇

---
###### tags: `數學` `學競`