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title: 一下U4
tags: [學競, 數學]

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# 一下U4
可能會超範圍補充 , 自行斟酌
## Ch 4.三角函數(不含二上內容 吧)

### 酷酷的定義
:::spoiler **不要告我**
![](https://i.imgur.com/QvJsBA2.png)
:::
![](https://i.imgur.com/5jPtUWQ.png)

### 酷酷的六邊形
![](https://i.imgur.com/luBxDoc.png)

#### 倒數關係
![](https://i.imgur.com/hwSa3Bz.png)

#### 商數關係
![](https://i.imgur.com/MhmbSCI.png)

#### 平方關係
![](https://i.imgur.com/EPKVCIQ.png)

#### 魚餃關係
$\sin\theta =\cos(90^{\circ}-\theta)$

### 一些廣義的東西
#### 廣義角
- 一些看起來不太正常的角 , 包括正角負角菱角八角等等你想的到的角
- 始邊是x軸正向 , 逆時針轉 (負角則順時針)

#### 廣義三角函數
- 弄個單位圓
- 始邊x軸正向 , 終邊和單位圓的交點就是$(\cos\theta ,\sin\theta)$
- 正負性
![](https://i.imgur.com/vnCCbBD.png)
- 化簡：==奇變偶不變==(單變雙不變) ==正負看象限==
栗子：
![](https://i.imgur.com/fLpwz4T.png)

#### 廣義相對論
我也不會

### 極座標
- $[r,\theta]=(r\cos\theta,r\sin\theta)$
- 圓的參數式$\begin{cases}x=r\cos\theta \\y=r\sin\theta\end{cases}$代表$x^2+y^2=r^2$的圓

### 一些定理
#### 正弦定理
> $2R=\dfrac{a}{\sin A}=\dfrac{b}{\sin B}=\dfrac{c}{\sin C}$

#### 餘弦定理
==狗幹重要==
> $a^2=b^2+c^2-2bc\cos A\Longleftrightarrow\cos A=\dfrac{b^2+c^2-a^2}{2bc}$

#### 正切定理
不用背
> $\dfrac{a+b}{a-b}=\dfrac{\tan\dfrac{\alpha+\beta}{2}}{\tan\dfrac{\alpha-\beta}{2}}$

#### 餘切定理
不用背
> $\cot\dfrac{\alpha}{2}=\dfrac{s-a}{r}$ , 其中$s$是半周長 , $r$是內切圓半徑


### 面積公式
#### 兩邊一夾角
> $S_{\Delta ABC}=\dfrac{1}{2}ab\sin C=\dfrac{1}{2}bc\sin A=\dfrac{1}{2}ac\sin B$

#### 三邊:海龍公式

> $S_{\Delta ABC}=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$ , 其中$s=\dfrac{a+b+c}{2}$
:::spoiler 證明
騙你的 我懶的寫
第一個公式的正弦用平方關係轉餘弦
再用餘弦定理就好
:::
:::spoiler 延伸:已知三邊長一定要用海龍嗎?
**Q.**
已知三角形三邊長$5,2\sqrt{13},\sqrt{53}$ , 證明三角形面積$=17$
:::

#### 內切圓半徑+周長
> $S_{\Delta ABC}=rs$
:::spoiler 延伸:三邊求內接圓半徑
$r=\sqrt{\dfrac{(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}$
:::

#### 外接圓半徑+三邊長
> $S_{\Delta ABC}=\dfrac{abc}{4R}$

### 題目們
感覺很多題目我上課講過 , 這次來點不一樣的好了
**Q1.**
:::spoiler 題目(易)
廣義角$\phi=3\theta\in$第三象限角 , 請問$\theta$可能是第幾象限角?
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:::spoiler 解答
![](https://i.imgur.com/2vwfOWH.png)
Ans:==第一 , 第三或第四象限角==
:::
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**Q2.**
:::spoiler 題目(中)
證明反海龍公式
> $\dfrac{1}{S_{\Delta ABC}}=4\sqrt{h_s(h_s-h_a^{-1})(h_s-h_b^{-1})(h_s-h_c^{-1})}$
> 其中$h_s=\dfrac{h_a^{-1}+h_b^{-1}+h_c^{-1}}{2}$
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:::spoiler 解答
![](https://i.imgur.com/Ahy7kXs.png)
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**Q3.**
:::spoiler 題目(難)
證明三角形中$\cos A+\cos B+\cos C>1$
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:::spoiler 解答
![](https://i.imgur.com/wlzp5XT.png)
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