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title: 數學家教期中考試

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# 數學家教期中考試
##### 講師：Yo
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1. (20 分) 回答以下問題
> * 解釋「表達式」和「方程式」之間的區別
> * 用自己的話解釋「函數」是什麼
> * $ax^2 = -2bx + 3c$ 的一般解是什麼？
> * 寫出三個畢氏三元數的例子。例如：$(3, 4, 5)$
> * 討論方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ 的解？

2. (30 分) 計算以下表達式

> * $\alpha = 
> [(\dfrac{1}{2})^2 - 0.25^3] + 
\dfrac{3}{16}-1.5\div36
,\quad
\beta = 
\dfrac{1}{(-2)^2} + 
\dfrac{1}{(-2)^3} + 
\dfrac{1}{(-2)^4} + 
\dfrac{1}{(-2)^5}\quad$
找出 $\quad \alpha \div \beta = \underline{\quad\quad}$

> * 令 $x = 2\sqrt{3} - \sqrt{2}, \,
y = 2\sqrt{3} + \sqrt{2} \quad$ 找出 $xy(\dfrac{x}{y} + \dfrac{y}{x}) = \underline{\quad\quad}$

> * 解方程 $5(4x+7)^2 + 8(4x+7) = 21$

3. (50 分) 根據給定條件回答問題

> * 令 $\alpha, \, \beta$ 是第一組方程的解。令 $\gamma, \, \delta$ 是第二組方程的解。找出 $(\alpha + \beta) \times \gamma\delta = \underline{\quad\quad}$

\begin{array}{cc}
\begin{cases}
3x + 2y = 10 \\
7x + 5y = 6
\end{cases}
\quad\quad\quad\quad
&
91x^2 -53x = -6
\end{array}

> * 根據以下方程計算 $q1$ 的面積 $= \underline{\quad\quad}$


<div style="text-align:center;">
    
![image](https://hackmd.io/_uploads/ryRtMNRWC.png =600x400)


</div>


> * $<a_n>$ 是等差數列；$<b_n>$ 是等比數列
根據以下系統方程，找出 $\sum_{k = 1}^{n}a_k =  \underline{\quad\quad}$ （用 n 表示）


\begin{cases}
b_1 + b_2 + b_3 = 38 \\
a_1 = b_1 - 2 \\
a_2 = b_2 - 4 \\
a_3 = b_3  - 8
\end{cases}


> * 讓區間 $I, \, I^{\prime}$ 是以下方程的解
>  $\dfrac{x}{2} - (x - \dfrac{5}{3}) \le \dfrac{x-5}{3}, \quad \dfrac{2x+3}{2} - 1 \ge \dfrac{5}{2}(x-1)$ 分別。找出 $I \cap I^{\prime}$

> * 因式分解 $(x+1)(x+2)(x-5)(x-6)-18 = \underline{\quad\quad\quad\quad\quad\quad}$