# Operasi Logika Dasar Modul ini akan mencangkup materi yang lebih spesifik dibanding pada saat basic skill dimana akan mencangkup pula Implikasi, Biimplikasi, Modus Ponens, Modus Tollens dan Ekuivalensi. ## Review materi operasi logika dasar Sebagaimana pada pertemuan kita kemarin pada saat basic skill operasi logika. Sama halnya dengan operasi aritmatika yang memiliki beberapa operasi seperti tambah kurang kali. Operasi Logika juga menerapkan hal yang sama. Di mana ada beberapa operasi umum seperti: - AND (&) - Operasi "dan" dimana hanya akan menjadi benar kalau dua - duanya benar - OR (|) - Operasi "atau" dimana hanya akan menjadi salah kalau dua - duanya salah - NOT (~) - Operasi negasi dimana akan mebalik argumen yang ada. Dimana membuat argumen benar menjadi salah, dan membuat argumen salah menjadi benar - XOR ($\oplus$) - Operasi disjungsi eksklusi (nama formal) atau simpelnya salah satu. Di mana akan menjadi benar jika salah satu argumen benar dan salah satu argumen salah. Sedangkan apabila dua duanya salah atau dua duanya benar maka akan bernilai salah. ## Implikasi Mungkin kalian akan lebih familiar sebagai "Jika Maka". Simpelnya Implikasi itu apabila terjadi kasus A maka akan terjadi B. Secara formal orang - orang biasanya akan tulis seperti ini $$ A \rightarrow B $$ Jadi semisal ada perkataan ``` Kalau Hari ini hujan maka aku akan membawa payung ``` Maka kita bisa bilang bahwa ``` A = Hari ini hujan B = Membawa payung ``` dan terjadi suatu operasi ``` A -> B ``` sebenarnya kalau kalian mau ulik lebih dalam operasi implikasi ini bisa diturunkan sebagai operasi kayak gini $$ \sim A \ \lor \ B $$ atau kita bisa bilang bahwa $$ \sim A \ \lor \ B \ = \ A \rightarrow B $$ Alasan kenapa dua operasi ini sama itu karena perhatikan alur pernyataan berikut. Misal aku punya pernyataan ``` Kalau aku dapat nilai seratus maka aku akan ke Bandung ``` dari pernyataan tersebut kira - kira mana dari opsi berikut yang pasti benar dan mungkin salah? ``` A. Karena Aku ke bandung maka aku mendapat nilai seratus B. Aku tidak mendapat nilai seratus maka aku ke Bandung C. Aku mendapatkan nilai seratus namun, aku tidak ke Bandung D. Jika aku tidak mendapatkan nilai seratus maka aku tidak ke Bandung ``` Jawabannya adalah A dan C mungkin salah bahkan yang C pasti salah. Mengapa? Mari kita analisis satu satu ### Poin A Berdasarakan pernyataan awal kita tahu bahwa argumen ini bernilai benar ``` "Aku mendapat nilai seratus" -> "Aku ke Bandung" ``` namun kita tidak tahu hasil dari argumen ini ``` "Aku tidak mendapat nilai seratus" -> ? ``` Perhatikan bahwa karena kita tidak tahu informasi ini maka kita dalam status yang ngga pasti, pernyataan ini selalu berlaku ``` "Aku ke Bandung" -> "Aku mendapatkan nilai seratus" ``` Karena ada kemungkinan seperti demikian ``` "Aku mendapatkan nilai seratus" -> "Aku ke Bandung" "Aku tidak mendapatkan nilai seratus" -> "Aku ke Bandung" ``` Dimana mengindikasikan bahwa "Aku ke Bandung" bisa saja terjadi karena Aku mendapat nilai seratus ataupun tidak. Sehingga membuat poin A bisa saja salah. ### Poin B Sedangkan pada poin B. Perhatikan bahwa pernyataan ini ``` Aku tidak mendapat nilai seratus maka aku ke Bandung ``` tidak menyalahi kaidah apapun dari pernyataan ini. ``` Kalau aku dapat nilai seratus maka aku akan ke Bandung ``` Karena kedua pernyataan berasumsi dengan kasus yang berbeda sehingga bersifat independen. Sehingga, pernyataan kedua bisa benar atau salah namun dalam kasus umum kita bisa asumsikan menjadi benar. ### Poin C Untuk poin C, Perhatikan bahwa karena kita berasumsi bahwa pernyataan ``` Kalau aku dapat nilai seratus maka aku akan ke Bandung ``` ini benar, maka keberadaan pernyataan poin C membuat pernyataan ini kontradiktif. Sehingga pernyataan poin C dipastikan pasti salah. ### Poin D Sama halnya dengan pada poin B. Perhatikan bahwa pernyataan ini ``` Jika aku tidak mendapatkan nilai seratus maka aku tidak ke Bandung ``` tidak menyalahi kaidah apapun dari pernyataan ini. ``` Kalau aku dapat nilai seratus maka aku akan ke Bandung ``` Karena kedua pernyataan berasumsi dengan kasus yang berbeda sehingga bersifat independen. Sehingga, pernyataan kedua bisa salah bisa benar namun dalam kasus umum kita asumsikan menjadi benar. ### Analisis Nah dari 3 poin tadi dapat kalian analisis kan kalau misalnya pada, $$ A \rightarrow B $$ dan B atau implikasi bernilai benar maka pernyataan dipastikan benar. Karena A atau implikan tidak akan berpengaruh apabila implikasi sudah benar Namun jika B bernilai salah maka jika A bernilai salah maka argumen tetap benar semisal sebagimana dijelaskan pada poin B. Namun jika A bernilai benar maka argumen menjadi salah karena sebagaimana dijelaskan pada poin C. Oleh karena itu, dapat kita simpulkan bahwa rumus kebenaran yang ada ialah | A | B | Hasil| | - | - | - | | T | T | T | | T | F | F | | F | T | T | | F | F | T | Atau hal ini dapat kita representasikan sebagai $$ \sim A \ \lor \ B $$ ## Biimplikasi Biimplikasi sebagaimana namanya ada "Bi" artinya dua, maka simpelnya biimplikasi dapat diartikan sebagai implikasi dari dua arah. Mungkin, kalian akan familiar dengan kata, ``` Jika dan hanya jika ``` Nah kata ini dengan biimplikasi itu sama saja. Karena tadi definisinya adalah implikasi dari dua arah. Secara formal umumnya kita tuliskan sebagai demikian $$ A \ \leftrightarrow \ B $$ Jadi kalau ada orang yang ngomong ``` Hidup itu jika dan hanya jika Bernafas ``` Maka kita bisa buat pemodelan matematika seperti berikut $$ A \rightarrow B \ \land \ B \rightarrow A $$ Mengapa? Karena sebagaimana definisi bahwa terjadi implikasi 2 arah. Maka pernyataan akan benar apabila memenuhi A implikasi B dan B implikasi A. Dimana apabila kita uraikan akan pula dapat disimplifikasi sebagai berikut. $$ (\sim A \ \lor \ B \ ) \ \land \ (\sim B \ \lor \ A \ ) $$ ## Modus Ponens Secara formal modus ponens dapat dituliskan sebagai berikut $$ P \rightarrow Q $$ $$ P $$ $$ \therefore \ Q $$ Simpelnya adalah jika P maka Q dan telah terjadi perilaku P maka akan terjadi perilaku Q. Semisal nih ``` Jika andi lapar dia akan makan ``` Maka semisal sekarang "Andi lapar" maka sekarang "Andi akan makan". ## Modus Tollens Secara formal modus ponens dapat dituliskan sebagai berikut $$ P \rightarrow Q $$ $$ \sim Q $$ $$ \therefore \ \sim P $$ Simpelnya misal kita ada pernyataan kayak gini ``` Jika andi lapar dia akan makan ``` Maka berdasarkan apa yang telah kita bahas pada implikasi tadi tidak mungkin dong pernyataan ini benar ``` Jika andi lapar dia tidak akan makan ``` Sederhananya hal tersebut akan membuat kontradiksi. Sehingga kita bisa bilang bahwa jika ``` Andi Tidak Makan ``` Maka dipastikan ``` Andi Tidak Lapar ``` Hal ini karena jika "Andi lapar" berdasarkan pernyataan awal dia pasti akan makan. Sehingga satu - satunya kasus dimana mungkin "Andi tidak makan" ialah ketika "Andi tidak lapar". Makanya apabila kita memiliki suatu jika lain semisal ``` Jika budi suka buah dia akan beli es buah (P -> Q) ``` Lalu kita tahu suatu informasi baru bahwa ``` Budi tidak suka es buah (~Q) ``` Maka, kesimpulan yang bisa kita ambil adalah ``` Budi tidak suka buah (~P) ``` ## Ekuivalensi Untuk ekuivalensi ini sebenarnya lebih ke operasi logika gimana, sehingga kalian bisa lihat pada informasi berikut ya. ![Screenshot 2025-01-08 at 22.46.18](https://hackmd.io/_uploads/rJIf-QhUyg.png)