# 4月9日 上課筆記
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## 17-3 聲速（The Speed of Sound）
我們把弦上橫波波速的公式$$v=\sqrt{\dfrac{\tau}{\mu}}$$（其中 $\tau$是弦中的張力，$\mu$ 是弦的線密度）推廣成為$$v=\sqrt{\dfrac{彈性性質}{慣性性質}}。\tag{17-1}$$

聲音在介質中傳播時，位能是與介質中微小體積元素的週期性壓縮與膨脹有關。

**體積模數**（bulk modulus）$B$ 是材料的一種性質，當施加在介質上的壓力（每單位面積的力）變化時，介質中元素體積隨之變化的程度叫做體積模數，其定義為$$B=-\dfrac{\Delta p}{\Delta V/V}。\tag{17-2}$$
- 這裡 $\Delta V/V$ 是由壓力變化 $\Delta p$ 所製造出的體積變化分率（fractional change in volume）。
- $\Delta V$ 和 $\Delta p$ 的正負號恆相反。為了讓 $B$ 恆為正數，所以公式前面帶有負號。

我們將 $B$ 取代 $\tau$、將 $\rho$ 取代 $\mu$ 而得到$$\boxed{v=\sqrt{\dfrac{B}{\rho}}}，\tag{17-3}$$這是聲音在體積模數為 $B$、密度為 $\rho$ 的介質中的速率。

### 聲速公式(17-3)的推導
1. 考慮以下模型：
- 考慮一個因壓縮空氣而產生的單一脈衝（pulse），它以 速率 $v$、由右往左傳播。
- 我們的視角跟著那個脈衝一起以速率 $v$ 移動，所以脈衝看起來靜止。
- 令未受擾動的空氣壓力為 $p$，而在脈衝裡面的空氣壓力為 $p+\Delta p$，這裡 $\Delta p>0$，因為是壓縮產生的。
- 考慮一團厚度為 $\Delta x$、表面積為 $A$ 的空氣，正以速率 $v$ 往脈衝移動。（圖(a)）
- 當這團空氣進入脈衝時，它的前端面（leading face）會接觸高氣壓區域，這使得的速率減慢為 $v+\Delta v$，這裡 $\Delta v<0$。（圖(b)）
- 減速直到這團空氣的後端面（rear face; trailing face）也進入脈衝時才會停止，這樣需要花$$\Delta t=\dfrac{\Delta x}{v}\tag{17-4}$$的時間。
2. 我們對這團空氣應用牛頓第二定律（圖(b)）：
在 $\Delta t$ 期間，
- 施予在後端面的平均力是 $pA$ 向右，
- 施予在前端面的平均力是 $(p+\Delta p)A$ 向左，因此
- 施予在這團空氣的平均淨力（average net force）是$$F=pA-(p+\Delta p)A=-\Delta p A。\tag{17-5}$$
- 負號代表受力方向向左。
3. 我們可計算這團空氣的質量$$ m=\rho V=\rho A\Delta x=\rho Av\Delta t。\tag{17-6}$$
- 為了避免和步驟6裡的體積變化量搞混，並使符號一致，我們把課本的 $\Delta m$ 修正為 $m$，$\Delta V$ 修正為 $V$。
5. 又由步驟2和3可計算平均加速度量值為$$a=\dfrac{\Delta v}{\Delta t}。\tag{17-7}$$
6. 使用牛頓第二運動定律（$F=ma$），代入以上結果可得$$-\Delta pA=(\rho A v\Delta t)\dfrac{\Delta v}{\Delta t}，\tag{17-8}$$我可把這寫成$$\rho v^2=-\dfrac{\Delta p}{\Delta v/v}。\tag{17-9}$$
7. 這團空氣位於脈衝外部時佔有 $V=Av\Delta t$ 的體積，當它進入脈衝時，它被壓縮了 $\Delta V=A\Delta v \Delta t$ 的體積。因此，$$\dfrac{\Delta V}{V}=\dfrac{A\Delta v \Delta t}{Av\Delta t}=\dfrac{\Delta v}{v}\tag{17-10}。$$
8. 把步驟6的結果代入步驟5的結果，得到$$\rho v^2=-\dfrac{\Delta p}{\Delta V/V}=B，\tag{17-11}$$其中我們使用了體積模數 $B$ 的定義。解出 $v$，就得到$$\boxed{v=\sqrt{\dfrac{B}{\rho}}}。\tag{17-3}$$
## 17-4 傳遞的聲波（Traveling Sound Waves）
我們曾經用正弦波（sinusoidal wave）為例，以鉛直（沿著 $y$ 軸的）位移寫出弦上**橫波**（transverse wave）的波函數：$$y(x,t)=y_m\cos(kx-\omega t)，\tag{16-2}$$其中
- $y_m$ 是振幅（amplitude），
- $k$ 是角波數（angular wave number），與波長 $\lambda$ 的關係為 $k=2\pi/\lambda$，
- $\omega$ 是角頻率（angular frequency），與週期 $T$ 的關係為 $\omega=2\pi/T$。


現在我們有兩種方式可以描述聲波這類的**縱波**的（longitudinal wave）波函數，以正弦波（sinusoidal wave）為例：
1. 水平（沿著 $x$ 軸的）位移 $s$
$s$ 的定義如上圖(b)，是相對於平衡位置（equilibrium position）的位移，波函數可寫成 $$\boxed{s(x,t)=s_m\cos(kx-\omega t)}，\tag{17-11}$$其中 $s_m$ 為**位移振幅**（displacement amplitude）。
2. 用壓力變化量（pressure variation） $\Delta p$
波函數可寫成$$\boxed{\Delta p(x,t)=\Delta p_m\sin(kx-\omega t)}，\tag{17-12}$$其中 $\Delta p_m$ 為**壓力振幅**（pressure amplitude）。

注意 $s(x,t)$ 和 $\Delta p(x,t)$ 的差別：
1. $s(x,t)$ 的振盪項使用了 $\cos$ 函數，$\Delta p(x,t)$ 的振盪項使用了 $\sin$ 函數。其實位移和壓力變化量有 $\pi/2$ 的相位差。

2. $s(x,t)$ 使用的振幅與$\Delta p(x,t)$ 不同，不過它們的振幅之間存在以下關係：$$\boxed{\Delta p_m=(v\rho\omega)s_m}，\tag{17-14}$$其中 $\rho$ 是介質密度。

### (17-13)、(17-14)式的推導
待補