# 變換與不變性
###### tags: `相對論和宇宙學`
## 物理定律的變換與不變性
> 所有的物理定律不因慣性坐標間的變換而改變其形式。
1. 古典動力學中，任何動力系統的運動方程式都可以寫成如下的正則形式 $$\dot{q}_k=\frac{\partial H}{\partial p_k},\qquad\dot{p}_k=-\frac{\partial H}{\partial q_k}\tag{1}$$ 且由坐標 $q_k$ 與動量 $p_k$ 至 $Q_k$ 與 $P_k$ 的正則變換 $$\begin{align}q_k&=q_k(Q_1,\ldots,Q_n,P_1,\ldots,P_n)\\p_k&=p_k(Q_1,\ldots,Q_n,P_1,\ldots,P_n)\end{align}\tag{2}$$ 有數學中「群」的性質。這種正則變換會使上列方程式 (1) 不變其形式，即： $$\dot{Q}_k=\frac{\partial \bar H}{\partial P_k},\qquad\dot{P}_k=-\frac{\partial \bar H}{\partial Q_k}$$
2. 在電磁理論中，Maxwell的場方程式即帶電質點的運動方程式，已證明在下列變換下，不變其形式：
1. [宇稱](https://reurl.cc/bzngby)
2. [時間反演](https://reurl.cc/a5NgAY)
3. [規範變換](https://en.wikipedia.org/wiki/Gauge_theory#Classical_gauge_theory)
3. 在古典力學中，一個系統的運動方程式 $$mr_i=F(r_i),\quad i=1,2,\ldots\tag{3}$$ 在所謂的 Galileo 變換下 $$\begin{align}&r_i=r'_i+vt,\\&t=t',\end{align}\quad v=\text{const.}\tag{4}$$ 不變其形式。
- **Galileo 相對性原理**：若兩個坐標 $S'$ 及 $S$ 以等速度 $v$ 做相對運動，則在自己的坐標中，不可能透過觀測任何動力學性質，來發覺自己的坐標是「靜止」或是「等速度運動」的。絕對性的「等速度運動」是無意義的。
- 時間變數 $t$ 不變換，這是絕對的時間。
4. Galileo 變換 (4) 應用到到電磁理論的方程式，將會改變方程式的形式。這代表我們只要在自己的慣性系中做電磁學實驗，就可以找到自己慣性系的運動情形。
- Lorentz 嘗試獲得電磁定律在慣性系之間的變換關係，包含 $v/c$ 項 $$x=\frac{x'+vt'}{\sqrt{1-\beta^2}},\quad y=y',\quad z=z',\quad t=\frac{t'+\frac{\beta}{c}x'}{\sqrt{1-\beta^2}},\tag{5}$$ 其中 $\beta=v/c$，$v$ 是代表 $S'$ 及 $S$ 坐標系延其 $x'$ 及 $x$ 軸的相對速度。但 Lorentz 對 $t'$ 和變換 (5) 的物理意義不清楚。
- Einstein 在 1905 年的相對論也發展出與 (5) 相同的形式。
5. 結論
| 變換 | Galilean (4) | Lorentzian (5) |
|:---------:|:------------:|:--------------:|
| 動力學定律 | 形式不變 | 形式變 |
| 電磁學定律 | 形式變 | 形式不變 |

當光速 $c$ 為無窮大時的極限狀況，Lorentz 變換就化簡為 Galileo 變換。但事實上 $c$ 非無窮大，因此我們必須重新檢討古典動力學的定律。

## 張量代數
[uni-heidelberg Tensor Calculus](https://www.ita.uni-heidelberg.de/~dullemond/lectures/tensor/tensor.pdf)

考慮 Lorentz 變換 (5) 在四維空間，若用虛數時間坐標
$x_1=x,\quad x_2=y,\quad x_3=z,\quad x_4=ict\tag{11}$，則變換 (5) 為正交的線性變換，其矩陣表示如下 $$\begin{pmatrix}x_1\\x_2\\x_3\\x_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma&0&0&-i\beta\gamma\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\i\beta\gamma&0&0&\gamma\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'_1\\x'_2\\x'_3\\x'_4\end{pmatrix}\tag{12}$$ 或 $$\displaystyle x_\mu=\sum_\nu x'_\nu a_{\mu\nu}.\tag{13}$$ 此處 $$\sum_\mu a_{\nu\mu} a_{\lambda\mu}=\delta_{\nu\lambda}\tag{14}$$ 以上逆變換為$$\displaystyle x'_\nu=\sum_\mu x_\mu a_{\nu\mu}.\tag{15}$$ 或 $$\begin{pmatrix}x'_1&x'_2&x'_3&x'_4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_1&x_2&x_3&x_4\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\gamma&0&0&-i\beta\gamma\\0&1&0&0\\0&0&1&0\\i\beta\gamma&0&0&\gamma\end{pmatrix}\tag{16}$$

### 定義 （向量）
$n$ 維向量 $x_\nu$ 在線性變換 $\displaystyle x_\mu=\sum_\nu x_\nu a_{\nu\mu}.\tag{18}$ 下變成向量 $x'_\mu$。

如果 (18) 式的係數 $a_{\nu\mu}$ 滿足 $\displaystyle \sum_\mu a_{\nu\mu} a_{\lambda\mu}=\delta_{\nu\lambda}\tag{19}$ 時，即稱為正交。
### 定理1
(18) 式的逆變換為 $$x_\nu=\sum x_\mu' a_{\nu\mu}.\tag{18$'$}$$

\* 以上線性變換的定義、定理可在 Marion, pp. 3-5 見到。

### 定義 （張量）
$n$ 階張量由下列變換定義：$\begin{align}\displaystyle &T'_{\mu}=\sum_{\alpha}T_{\alpha}\,a_{\alpha\mu},\\\displaystyle &T'_{\mu\nu}=\sum_{\alpha,\beta}T_{\alpha\beta}\,a_{\alpha\mu}\,a_{\beta\nu},\\ \displaystyle &T'_{\lambda\mu\nu}=\sum_{\alpha,\beta,\gamma}T_{\alpha\beta}\,a_{\alpha\lambda}\,a_{\beta\mu}\,a_{\gamma\nu},\end{align}\tag{20}$ 等等，上式之第一式是**一階張量**（對照 (18) 式，可發現這就是向量）的定義，第二式是**二階張量**的定義，第三式是**三階張量**的定義，其他階數的張量以此類推。

### 定理二
以 (20) 式定義的張量，其方程式（誰？）對變換 (18) 具有不變性。

### 定理三
$\frac{\partial}{\partial x_1}$、$\frac{\partial}{\partial x_2}$、$\frac{\partial}{\partial x_3}$、$\frac{\partial}{\partial x_4}$ 組成向量的四個分量。

此定理可由 (18') 及 (20) 式得證，即：$\displaystyle\frac{\partial}{\partial x'_\mu}=\sum_\nu\underbrace{\frac{\partial x_\nu}{\partial x'_\mu}}_{a_{\nu\mu}}\frac{\partial}{\partial x_\nu}.\tag{22}$

### 定義（純量）
函數 $\phi(x_\alpha)$ 稱為純量 $(\alpha=1,2,\ldots,n)$，若其對變換 (18) 有不變性，即 $\phi(x_\alpha)=\phi(x'_\alpha).\tag{23}$ 純量就是零階張量。

### 定理四
純量 $\phi$ 的四維梯度，即 $\displaystyle\left(\frac{\partial\phi}{\partial x_1},\frac{\partial\phi}{\partial x_2},\frac{\partial\phi}{\partial x_3},\frac{\partial\phi}{\partial x_4}\right),\tag{24}$為一向量。
### 定理五
向量 $\mathbf{A}$ 的四維散度，即 $\displaystyle \sum_{\alpha}\frac{\partial A_\alpha}{\partial x_\alpha}=\frac{\partial A_1}{\partial x_1}+\frac{\partial A_2}{\partial x_2}+\frac{\partial A_3}{\partial x_3}+\frac{\partial A_4}{\partial x_4}\tag{25}$ 對變換 (18) 是不變量，換句話說，向量的四維散度是純量。
### 定理六
向量 $\mathbf{A}$ 的四維旋度，即 $\displaystyle (\text{curl}\ \mathbf{A})_{\alpha\beta}=\frac{\partial A_\beta}{\partial x_\alpha}-\frac{\partial A_\alpha}{\partial x_\beta}\tag{26}$ 是一個二階張量。
### 定理七
向量的內積為一純量。證明如下：$$\begin{align}\sum_\mu A'_\mu B'_\mu &= \sum_{\mu,\nu,\lambda} A_\nu\,a_{\nu\mu} \,B_{\lambda}\,a_{\lambda\mu}\\&=\sum_{\nu,\lambda}A_\nu B_\lambda \delta_{\nu\lambda}\\&=\sum_{\nu}A_\nu B_\nu.\tag{27}\end{align}$$
### 定理八
任何量，如與一向量的內積是一張量，則此量必為一張量。
### 定理九
二階張量之散度 $\dfrac{\partial T_{\mu\nu}}{\partial x_\mu}\tag{28}$ 為一向量。
### 定理十
d'Alembertian 運算子（像四維的 Laplacian） $\displaystyle\square\equiv\sum_\mu \frac{\partial }{\partial x_\mu}=\frac{\partial^2}{\partial x_1^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_2^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_3^2}+\frac{\partial^2}{\partial x_4^2}\tag{29}$ 在變換 (18) 下是不變量。
### 定理十一
長度元素 $\sum_\mu\text{d}x_\mu^2$ 為一不變量。
### 定理十二
變換 (18) 和 (18') 的 Jacobian 為 $\pm 1$：$\displaystyle\frac{\partial(x'_1,x'_2,x'_3,x'_4)}{\partial(x_1,x_2,x_3,x_4)}=\pm1\tag{31}$
### 定理十二
體積元素 $\prod_\mu\text{d}x_\mu$ 為一不變量。

## 實數時間之表示：逆變與協變張量
若 (11) 式的四向量改採以下形式的坐標（分量用==上標==寫！） $x^0=ct,\quad x^1=x,\quad x^2=y,\quad x^3=z\tag{33}$ 或作 $x^\mu(x^0,x^1,x^2,x^3)=(ct,x,y,z)\tag*{}$ 則 Lorentz 變換 (12)、(16) 式要改成 $$\begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma&\beta\gamma&0&0\\\beta\gamma&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}\tag{34}$$ 和
$$\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma&-\beta\gamma&0&0\\-\beta\gamma&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\end{pmatrix}\tag{34$'$}$$ 但這些變換的係數 $a_{\mu\nu}$ 會使正交條件 (10) 不成立，而且使 $$\left(x^0\right)^2+\left(x^1\right)^2+\left(x^2\right)^2+\left(x^3\right)^2$$ 不再是不變量。

再定義另一個四向量（分量用==下標==寫！） $x_\mu(x_0,x_1,x_2,x_3)=(ct,-x,-y,-z),\tag{35}$ 其 Lorentz 變換為 $$\begin{pmatrix}x'_0\\x'_1\\x'_2\\x'_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma&-\beta\gamma&0&0\\-\beta\gamma&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}\tag{36}$$ 和
$$\begin{pmatrix}x_0\\x_1\\x_2\\x_3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}\gamma&\beta\gamma&0&0\\\beta\gamma&\gamma&0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'_0\\x'_1\\x'_2\\x'_3\end{pmatrix}\tag{36$'$}$$

(34) 和 (36) 變換之 Jacobian 皆等於 $1$。

由 (34) 和 (36) 可證明 $x_\mu x^\mu =x_0 x^0 + x_1 x^1 + x_2 x^2 + x_3 x^3\tag{37}$ 在 Lorentz 變換下是不變量。
<font size=3>
==凡向量或張量之變換如 (34) 者，稱為逆變（contravariant）；
變換如 (36) 者，稱為協變（covariant）。==
</font>

定義兩種向量的內積為 $A^\mu B_\mu=A^0 B_0+A^1 B_1+A^2 B_2+A^3 B_3\tag{38}$ 由 (34) 和 (36)，可知內積 (37) 是不變量： $A'^\mu B'_\mu=A^\mu B_\mu.\tag{38a}$ 而 $\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial x^1},\frac{\partial}{\partial x^2},\frac{\partial}{\partial x^3},\frac{\partial}{\partial x^4}\right)\tag{39a}$ 是協變向量，及$\displaystyle\left(\frac{\partial}{\partial x_1},\frac{\partial}{\partial x_2},\frac{\partial}{\partial x_3},\frac{\partial}{\partial x_4}\right)\tag{39b}$ 是逆變向量；$\displaystyle\square\equiv\sum^3_{\mu=0}\frac{\partial^2}{\partial x^\mu\partial x_\mu}\tag{40}$ 是不變量。