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title: 選修物理下 第10、11章
tags: [高中物理]

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# 選修物理下 第10、11章
###### tags: `高中物理`
$\require{cancel}$
## 電子
### 電子的發現
- 主要科學家：
- 實驗名稱：
- 時間：1897年發表（1906年諾貝爾獎）
- 現象
    - **氣體放電**：
    - **陰極射線**：
- 成果
    1. 發現電子
    2. 測量荷質比 $e/m=1.76\times 10^{11} \text{ C/kg}$
- 裝置
    ![](https://i.imgur.com/vMp1Hm0.png =450x)
    ![](https://i.imgur.com/BgEEMI2.png =500x)
    部件名稱
    - A：
    - B：
    - C：
    - D：
    - E：
- 問題：
    - 如何判斷帶電？如何判斷帶正／負電？
    - 如何判斷是從陰極射出？
    - 如何判斷是粒子？
    - 如何觀察到粒子的軌跡？
    - 如何推論該粒子普遍存在於所有物質？
- 測量荷質比的原理
    ![](https://i.imgur.com/lCzivhp.png)
    - 電子電荷量 $e$、質量 $m$
    - 平行電極板提供均勻電場，量值 $E$，方向由下往上，電極板寬度 $\ell$
    - 永久磁鐵提供均勻磁場，量值 $B$，方向射入紙面
    - 調整 $E$ 和 $B$，使得：
    - 關掉磁場，讓電子在電場中做：
    - 離開電場後做：
::: warning
**證明**：$$\dfrac{e}{m}=\dfrac{yv^2}{E\ell\left(\dfrac{\ell}{2}+D\right)}$$
**步驟**
1. 同時有電場和磁場，說明電子入射速率 $v=\dfrac{E}{B}$ 
2. 只有電場，說明電子在電場中的加速度 $a=\dfrac{eE}{m}$
3. 算出電子經過電場所需時間 $t_1=\dfrac{\ell}{v}$
4. 算出電子在電場中的（垂直）偏折距離 $y_1=\dfrac{eE\ell^2}{2mv^2}$
5. 算出電子從 $Q$ 點離開電場時，速度的 $y$ 方向分量為 $v_y=\dfrac{eE\ell}{mv}$
6. 算出電子離開電場後到抵達螢光幕所需時間 $t_2=\dfrac{D}{v}$
7. 算出電子離開電場後的（垂直）偏折距離 $y_2=\dfrac{eE\ell D}{mv^2}$
8. 總（垂直）偏折距離 $y=y_1+y_2$
9. 推得荷質比
:::
- 其他求荷質比的方法
    電子經由電位差 $V$ 加速，垂直地進入均勻磁場 $B$，迴轉半徑為 $r$，試證明$$\dfrac{e}{m}=\dfrac{2V}{B^2r^2}$$
    ![](https://i.imgur.com/H5au4I1.png =300x)
$eV=\dfrac{1}{2}mv^2$



### 電子電量的測量
- 主要科學家：
- 實驗名稱：
- 時間：1910年代
- 成果：
    - 測量出電子電量，即基本電荷量 $e=$
    - 也計算出電子質量 $m=9.1\times 10^{-31}\text{ kg}$
    - 也計算出亞佛加厥常數 $N_A=$
- 裝置：
    ![](https://www.thoughtco.com/thmb/qGmy_-j0uMYSaasobptlVvh4qto=/768x0/filters:no_upscale():max_bytes(150000):strip_icc():format(webp)/Simplified_scheme_of_Millikans_oil-drop_experiment.svg-637e1100c6bc49a08b6ca32d8e8feed8.png =400x)
- 原理：
    ![](https://i.imgur.com/IQNyVjZ.png =300x)
    - 如果油滴靜止，則由力平衡關係 $mg=qE$，可推得每一個油滴的帶電量 $$q=\dfrac{mg}{E}$$
    - 得到大量油滴帶電量的數據，取其：
        具體來說，先取最小值，以此為準計算其他電量對此的比值
    - 如果油滴非靜止，需要考慮空氣阻力係數、終端速率


## X射線

## 量子論的發現——黑體輻射

## 量子論的發現——光電效應
![](https://i.imgur.com/38TJKQr.png =250x)

## 拉塞福的原子模型
- 主要科學家：拉塞福
- 實驗名稱：
- 時間：1911年
- 成果
    - 發現： 
- 裝置
    ![](https://i.imgur.com/FiVC2ty.png =250x)
    - 鉛座內 $\alpha$ 粒子放射源（鐳）
    - 金箔（厚度僅 1 μm）
- 原理
    - $\alpha$ 粒子與金原子內部的正、負電荷有靜電力作用，路徑產生偏移（此過程稱**散射**）
    - $\alpha$ 粒子產生散射角 $\phi$，撞擊在螢光幕，產生螢光
    - 把撞擊次數對 $\phi$ 的關係畫出來
    ![](https://i.imgur.com/KruHuf5.png =250x)
- 問題
    - 依照實驗結果，湯姆森的原子模型出了什麼問題？ 
- 解釋：拉塞福原子模型（行星模型）
    - 原子核：1個，電荷量 $+Ze$
    - 電子：$Z$ 個，電荷量 $-e$，像行星一樣繞轉原子核
         ![](https://i.imgur.com/n2JQKxx.png =250x)![](https://i.imgur.com/G1LLkgL.png =300x)
    - 缺陷：
        - 原子的穩定性：電子會墜落到原子核並放出電磁波，但並沒有
        - 光譜：放出的電磁波應呈現連續光譜，但實際測得不連續光譜

## 氫原子光譜
1. 光譜
    - 17世紀，牛頓用三稜鏡觀察到色散
    - 19世紀
        - 夫朗和斐設計光譜儀，可分析譜線的波長
        - 克希荷夫發現每種元素的氣態都有特定光譜
    - 分類：
        - 連續光譜：
        - 發射光譜（線狀光譜、明線光譜）：
        - 吸收光譜（暗線光譜）： 
    ![](https://www.researchgate.net/profile/Brendan_Mclaughlin/publication/230569765/figure/fig2/AS:393314911178775@1470784990797/Continuous-spectrum-and-two-types-of-line-spectra.png =400x)
2. [氫原子光譜](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B0%AB%E5%8E%9F%E5%AD%90%E5%85%89%E8%AD%9C)
    ![](https://www.thoughtco.com/thmb/NVjmylJ-zJrzTQRdUcl4tZlK6ag=/768x0/filters:no_upscale():max_bytes(150000):strip_icc():format(webp)/GettyImages-1096547948-35b3799817ca4b2fa06888893ef4a348.jpg =400x)
    - 可見光區有
        - H-α：6562.8 Å
        - H-β：4860.7 Å
        - H-γ：4340.1 Å
        - H-δ：4101.2 Å
    - 1885年，巴耳末導出經驗公式$$\lambda=\dfrac{n^2}{n^2-2^2}\lambda_0,\quad n=3,4,5,\ldots，$$其中 $\lambda_0=364.56\text{ nm}$。$n=3$ 時，就是H-α，$n=4$ 時就是H-β，以此類推。後來氫原子可見光區的譜線系列稱為巴耳末系。
    ![](https://i.imgur.com/Yt5JUp3.png =450x)
    - 1890年，芮得柏改寫巴耳末公式為$$\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right),\quad n=3,4,5,\ldots，$$其中 $R_H=1.908\times 10^{-7}$，稱為氫原子的芮得柏常數。
    - 1908年，瑞茲推廣為$$\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{n^2}\right),\quad m,n\in\mathbb{N}\ 且\ n>m，$$

## 波耳的氫原子模型
- 主要科學家：波耳
- 實驗名稱：無（但是基於拉塞福原子模型和氫原子光譜）
- 假設
    1. 電子僅被允許在某些特定的軌道上做圓周運動，這些軌道稱為**穩定態**，能量為定值。且電子在穩定態的角動量等於 $\hbar=h/2\pi$ 的整數倍，即$$L=rmv=\dfrac{nh}{2\pi},\quad n=1,2,3\ldots，$$其中 $r$ 為軌道半徑，$m$ 為電子質量，$v$ 為軌道速率，$h$ 為普朗克常數，$n$ 稱為量子數。
    2. 電子可以從較高能量 $E_i$ 的軌道，轉移到低能量 $E_f$ 的軌道（這個過程稱為**躍遷**），放出一個光子，其能量等於兩軌道的能量差，即$$h\nu=E_i-E_f，$$其中 $\nu$ 為光子的頻率。
- 預測氫原子光譜（假設原子核質量遠大於 $m$）
    ![](https://i.imgur.com/2d7Cphe.png =250x)
    1. 電子的向心力由庫侖力提供$$m\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{kZe^2}{r^2}。\tag{1}$$
    2. 由假設1，$rmv=nh/2\pi$，得到$$v=\dfrac{nh}{2\pi rm}。\tag{2}$$
    3. 將(2)式帶入(1)式，$$\dfrac{\cancel{m}}{r}\dfrac{n^2h^2}{4\pi ^2\cancel{r^2}m^\cancel{2}}=\dfrac{kZe^2}{\cancel{r^2}}，$$解 $r$ 得到$$\boxed{r=\dfrac{n^2h^2}{4\pi mkZe^2}},\quad n=1,2,3,\ldots。\tag{3}$$
    4. 系統的力學能為$$E=-\dfrac{kZe^2}{2r}，$$代入(3)式到上式，得到$$\boxed{E=-\dfrac{2\pi^2 mk^2Z^2e^4}{h^2}\left(\dfrac{1}{n^2}\right)},\quad n=1,2,3,\ldots。\tag{4}$$
    5. 將已知的常數代入(4)式
        - $m=9.31\times 10^{-31}\text{ kg}$
        - $e=1.602\times 10^{-19}\text{ C}$ 
        - $k=8.99\times 10^{-9} \text{ N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{m}^{-2}$
        - $h=6.626\times 10^{-34} \text{ J}\cdot\text{s}$
        得到$$r_n=\dfrac{0.0529}{Z}n^2 \text{ (nm)}，\tag{5}$$以及$$E_n=-\dfrac{13.6Z^2}{n^2} \text{ (eV)}。\tag{6}$$
        

## 物質波

## 原子核

