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title: Reference Note 01
tags: [Quantum Physics II]

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# Reference Note 01 
###### tags: `Quantum Physics II`
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:book: 姚珩《量子力學》第九章：與時間無關的微擾理論
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### 基本問題
考慮一物理系統
$\hat{H}=\hat{H^0}+\hat{H^1}，\tag{9.1}$


其中：
- $\hat{H^0}$ 為未受干擾前的[能量（哈密頓）運算子]()(Hamiltonian)，
- $\hat{H^1}$ 為新增的[微擾]()(perturbation)項。

若：
1. $\hat{H^1}$ 與時間無關，且
2. $\hat{H^1}$ 遠比 $\hat{H^0}$ 「小」很多。

<small>編註：這裡的上標只是區別「微擾項」與「非微擾項」，與等一下讓給固有向量和固有值使用的上下標不一致。</small>

則：
我們就在處理一「**穩定態／與時間無關(time-independent)**」的**微擾問題**。（我們簡稱TIP）

### 想法
設：$\hat{H^1} = \lambda\hat{H'},\quad\lambda\ll 1，\tag{9.2}$

其中等號右邊 $\hat{H'}$ 與 $\hat{H^0}$ 之「大小」約略相同，也就是用一個微小的因子 $\lambda$ 來「吸收」。$\lambda$ 很小，於是 $\hat{H^1}$ 就會像前面設定的一樣，遠比 $\hat{H^0}$ 「小」很多。

若有關 $\hat{H^0}$ 的[固有值問題]()已經解出，並得 $E^0_n$ 為 $\hat{H^0}$ 不連續之[能量固有值]() ，即：
1. 當$m\neq n$， $$E^0_m\neq E^0_n；\tag{9.3}$$ 
2. $\left|\psi^0_n\right>$ 為對應於 $E_n^0$ 的固有狀態，亦即
$\hat{H}_0\left|\psi^0_n\right> = E_n^0\left|\psi^0_n\right>；\tag{9.4}$
3. 注意：
    * ==$\psi^0_n$ 和 $E^0_n$ 的下標 $n$ 代表固有狀態數==，
    * ==$\psi^0_n$ 和 $E^0_n$的上標 $0$ 對應於 $\hat{H^0}$ 的  $0$，代表 $\hat{H^0}$ 的能量固有值==；
    
4. 請回憶厄米特運算子的固有狀態有兩個性質：
    * 正交性(orthogonality)
$\left<\psi^0_m\Big|\psi^0_n\right>=\delta_{mn}\delta_{ij}、\tag{9.5a}$
    * 完全性(completeness)
$\sum_n \left|\psi^0_n\right> \left< \psi^0_n \right|=1\tag{9.5b}$

（給定位能 $\hat{H'}$ 之）TIP之能量運算子為 $\lambda$ 的函數：
$\hat{H}(\lambda)=\hat{H_0}+\lambda \hat{H'}\quad(\lambda\ll 1)\tag{9.6}$
它所對應的固有值方程式為
$\hat{H}(\lambda)\left|\psi_n(\lambda)\right>=E_n(\lambda)\left|\psi_n(\lambda)\right>\tag{9.7}$
這個 $\left|\psi(\lambda)\right>$ 就是我們要解的東西。

#### 使用泰勒展開式！
對於函數 $E_n(\lambda)$ 而言，我們恆可以寫出關於 $\lambda$、在 $\lambda=0$ 附近展開的冪級數（泰勒展開），
$E_n(\lambda) = E_n(\lambda=0) + \lambda\dfrac{dE_n(\lambda)}{d\lambda}\Bigg|_{\lambda=0}+\dfrac{\lambda^2}{2}\dfrac{d^2E_n(\lambda)}{d\lambda^2}\Bigg|_{\lambda=0}+\cdots+\dfrac{\lambda^\nu}{\nu!}\dfrac{d^\nu E_n(\lambda)}{d\lambda^\nu}\Bigg|_{\lambda=0}+\cdots$
或
$E(\lambda) = E^0_n + E^1_n\lambda + E^2_n\lambda^2+\cdots+E^\nu_n\lambda^\nu+\cdots\tag{9.8a}$
為了簡便也可寫成
$E(\lambda) = \varepsilon_0 + \varepsilon_1\lambda + \varepsilon_2\lambda^2+\cdots+\varepsilon_{\nu}\lambda^\nu+\cdots\tag{9.8a}$

也對 $\left|\psi_n(\lambda)\right>$ 做一樣的事：
$\left|\psi(\lambda)\right> = \left|\psi^0_n\right> + \left|\psi^1_n\right>\lambda + \left|\psi^2_n\right>\lambda^2+\cdots+\left|\psi^\nu_n\right>\lambda^\nu+\cdots\tag{9.9a}$
為了簡便也可寫成
$\left|\psi(\lambda)\right> = \left|0\right> + \left|1\right>\lambda + \left|2\right>\lambda^2+\cdots+\left|\nu\right>\lambda^\nu+\cdots\tag{9.9b}$

其中，
- ==$E^1_n$ 或 $\varepsilon_1$ 為第 $n$ 個能量固有值的第一級修正==，
- ==$\psi^1_n$  或 $\left|1\right>$ 為第 $n$ 個固有值的第一級修正==；
- ==$E^2_n$ 或 $\varepsilon_2$ 為第 $n$ 個能量固有值的第二級修正==，
- ==$\psi^2_n$  或 $\left|2\right>$ 為第 $n$ 個固有值的第二級修正==；以此類推⋯⋯==











