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# System prepended metadata

title: Sec. 9.1
tags: [Quantum Physics II]

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title: Sec. 9.1
author: ulynx
lang: zh-tw
description:: 16 April 2020 @ 木柵路易莎
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# §9.1　「古典」區域
###### tags: `Quantum Physics II`

薛丁格方程式$$-\dfrac{\hbar}{2m}\dfrac{d^2\psi}{dx^2}+V(x)\psi=E\psi$$可以用下列方式重寫：$$\dfrac{d^2\psi}{dx^2}=-\dfrac{p^2}{\hbar^2}\psi，\tag{9.1}$$其中$$p(x)\equiv\sqrt{2m[E-V(x)]}\tag{9.2}$$是一個帶有總能 $E$ 和位能 $V(x)$ 粒子，其動量（量值）的古典公式。我會暫時假定 $E>V(x)$，所以 $p(x)$ 是*實數*；我們稱這個為「古典」區域，原因很明顯——古典粒子是*侷限*在這個範圍的 $x$ 之內（見圖9.1）。一般而言，$\psi$ 是某個複數函數；；我們可以用它的*振幅*（amplitude）$A(x)$ 和它的 *相位*（phase）$\phi(x)$ 來表示（兩個都是實函數）：$$\psi(x)=A(x)e^{\phi(x)}。\tag{9.3}$$使用撇號代表對 $x$ 的導函數，則有$$\dfrac{d\psi}{dx}=(A'+iA\phi')e^{i\phi}$$和$$\dfrac{d^2\psi}{dx^2}=\left[A''+2iA'\phi'+iA\phi''-(\phi')^2A\right]e^{i\phi}。\tag{9.4}$$

把這放進(9.1)式：$$A''+2iA'\phi'+iA\phi''-(\phi')^2A=\dfrac{p^2}{\hbar^2}A。\tag{9.5}$$這等價於兩個*實數*方程式，一個屬於實部，一個屬於虛部：$$A''-(\phi')^2A=-\dfrac{p^2}{\hbar^2}A\quad或\quad A''=A\left[(\phi')^2-\dfrac{p^2}{\hbar^2}\right]\tag{9.6}$$和$$2A'\phi'+A\phi''=0\quad或\quad (A^2\phi')'=0。\tag{9.7}$$

(9.6)式、(9.7)式完全等價於原本的薛丁格方程式。第二條方程式很容易解：$$A^2\phi'=C^2\quad或\quad A=\dfrac{C}{\sqrt{|\phi'|}}，\tag{9.8}$$其中 $C$ 是個（實）常數。第一條方程式（(9.6)式）一般解不出來——所以這時候就需要近似：*我們假定振幅$A$變化得很慢*，所以 $A''$ 項可以忽略。（更精確地說，我們是假定 $A''/A$ 遠小於 $(\phi')^2$ 和 $p^2/\hbar^2$。）這樣我們就可以丟掉(9.6)式的左邊，就只剩下$$(\phi')^2=\dfrac{p^2}{\hbar^2} \quad或\quad\dfrac{d\phi}{dx}=\pm\dfrac{p}{\hbar}$$因而有$$\phi(x)=\pm\dfrac{1}{\hbar}\int p(x)dx。\tag{9.9}$$（我目前會把這個寫成不定積分——任何積分常數都可以吸收到 $C$，因此 $C$ 之後會變成複數。我也會把 $\sqrt{\hbar}$ 吸收進去。）然後 $$\boxed{\psi(x)\approx\dfrac{C}{\sqrt{p(x)}}\exp\left[\pm\frac{i}{\hbar}\int p(x)dx\right]}。\tag{9.10}$$