--- title: Ch. 9 author: ulynx lang: zh-tw description:: 9 May 2020 @ 浮洲宿舍 --- # 第九章 WKB近似 ###### tags: `Quantum Physics II` **WKB**（Wenzel、Kramers、Brillouin)[^1]方法是得到一維定態薛丁格方程的近似解的一種技術（它的基本思想同樣可應用於許多其他形式的微分方程和三維薛丁格方程的徑向部分）。此法對計算束縛態能量和位能障礙穿透率都是非常有用的。 它的基本想法如下：假設能量為 $E$ 的粒子穿過勢能 $V(x)$ 的區域，其中 $V(x)$ 為常數。當 $E>V$ 時，則波函數的形式為 ＄$$\psi(x)=Ae^{\pm ikx},\quad其中~k\equiv\sqrt{2m(E-V)}\Big/\hbar$$ 正號表示粒子向右運動，而負號表示它向左運動（當然，通解是兩項的線性組合）。波函數為振盪函數，具有固定的波長（$\lambda=2\pi/k$）和不變的振幅（$A$）。現在設想 $V(x)$ 不是常數，但是變化相比 $\lambda$ 非常緩慢，因此在一個包含許多全波長的區域中，我們可以認為位能*基本上*是不變的。於是，可以合理地認為 $\psi$ *實際上*仍然保持正弦形式，除了波長和振幅會隨 $x$ 緩慢變化之外。這就是藏在 WKB 近似後面的靈感。實際上，它鑑別出兩種不同程度的 $x$ 相關性：快速振盪，以及由振幅和波長逐漸變化的*調製*（modulated）。 同理，當 $E<V$（且 $V$ 為常數)時，$\psi$ 是指數形式：$$\psi(x)=Ae^{\pm kx},\quad其中~\kappa\equiv\sqrt{2m(V-E)}\Big/\hbar$$ 如果 $V(x)$ *不*是常數，但是與 $1/\kappa$ 相比變化很緩慢，則除了 $A$、$\kappa$ 是隨 $x$ 緩慢變化的函數之外，解*實際上*是保持了指數形式。 現在仍有一個地方將讓整個計畫失敗，這就是古典**轉折點**（classical turning point）的鄰近區域（immediate vicinity），此處 $E\approx V$。因為此處的 $\lambda$（或者 $1/\kappa$）趨於無窮大，所以相較之下 $V(x)$ 就很難說是「緩慢的」變化了。我們將看到，如何恰當地處轉折點會是 最困難的一個部分，儘管如此，雖然WKB 近似的最終陳述簡單，易於實行 [^1]: 在荷蘭此為 KWB，在法國此為 BWK，在英國此為 JWKB（J 為 Jeffreys）。