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# System prepended metadata

title: Sec. 7.5
tags: [Quantum Physics II]

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title: Sec. 7.5
author: ulynx
lang: zh-tw
description:: 2 May 2020 @ 浮洲宿舍
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# §7.5　氫原子中的超精細分裂<br><font size=5>Hyperfine Splitting in Hydrogen</font></br>
###### tags: `Quantum Physics II` 
質子本身就具有一個磁偶極子，但由於處在分母位置的質量((7.62) 式)較大，該磁偶極子比電子的 小很多:$$\boldsymbol \mu_p=\dfrac{g_pe}{2m_p}\mathbf{S}_p,\quad\boldsymbol \mu_e=-\dfrac{e}{2m_e}\mathbf{S}_e,\tag{7.89}$$ (質子是一個複合結構，它由三個夸克組成，它的迴轉磁比率比電子的要複雜——因此，和電子的大小為 $2$ 的朗德 $g$ 因子相比，它的 $g$ 因子 $g_p$ 為 $5.59$。)由古典電動力學可知，一個偶極子$\boldsymbol\mu$ 形成一個磁場 $$\mathbf{B}=\dfrac{\mu_0}{4\pi r^3}[3(\boldsymbol \mu\cdot \hat{\mathbf{r}})\hat{\mathbf{r}}-\boldsymbol\mu]+\dfrac{2\mu_0}{3}\boldsymbol\mu\delta^3(\mathbf{r})。\tag{7.90}$$

所以在磁場中，質子磁偶極矩導致電子的哈密頓量為((7.59)) 式): $$\begin{align}\hat{H'_\text{hf}}&=-\boldsymbol\mu_e\cdot\mathbf{B}_p
\\&=-\dfrac{\mu_0}{4\pi r^3}[3(\boldsymbol \mu_p\cdot \hat{\mathbf{r}})(\boldsymbol\mu_e\cdot\hat{\mathbf{r}})-\boldsymbol\mu_e\cdot\boldsymbol\mu_p]+\dfrac{2\mu_0}{3}\boldsymbol\mu_e\cdot\boldsymbol\mu_p\delta^3(\mathbf{r})
\\&=\dfrac{\mu_0g_pe^2}{8\pi m_pm_e}\dfrac{3(\mathbf{S}_p\cdot\hat{\mathbf{r}})(\mathbf{S}_e\cdot\hat{\mathbf{r}})-\mathbf{S}_p\cdot\mathbf{S}_e}{r^3} + \dfrac{\mu_0g_pe^2}{3m_pm_e}\mathbf{S}_p\cdot\mathbf{S}_e\delta^3(\mathbf{r})。\tag{7.91}\end{align}$$

按照微擾理論，能量的一級修正（(7.9) 式）就是微擾哈密頓算符的期望值： $$\begin{align}E^1_\text{hf}=&\dfrac{\mu_0g_pe^2}{8\pi m_pm_e}\left<\dfrac{3(\mathbf{S}_p\cdot\hat{\mathbf{r}})(\mathbf{S}_e\cdot\hat{\mathbf{r}})-\mathbf{S}_p\cdot\mathbf{S}_e}{r^3}\right>\\&+\dfrac{\mu_0g_pe^2}{3m_pm_e}\left<\mathbf{S}_p\cdot\mathbf{S}_e\right>\delta^3(\mathbf{0})。\end{align}\tag{7.92}$$

對基態（或者對於 $\ell = 0$ 的其它態)，波函數是球對稱的，第一項的平均值為零（見習題 7.31）。同時，對於氫原子基態，由 (4.80) 式我們有， $|\psi_{100}(0)|^2=1/\left(\pi a^3\right)$，所以對於氫原子基態，$$E^1_\text{hf}=\dfrac{\mu_0g_pe^2}{3\pi m_pm_ea^3}\left<\mathbf{S}_p\cdot\mathbf{S}_e\right>=\dfrac{4g_p\hbar^2}{3 m_pm_e^2c^2a^4}\left<\mathbf{S}_p\cdot\mathbf{S}_e\right>，\tag{7.93}$$ 其中我們用了 $a=4\pi\epsilon_0\hbar^2/m_e e^2=4\pi \hbar^2/m_e  \mu_0c^2e^2$。這叫做[**自旋－自旋耦合**](https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=%E8%87%AA%E6%97%8B-%E8%87%AA%E6%97%8B%E8%80%A6%E5%90%88&action=edit&redlink=1)（spin-spin coupling），因為因為它和兩個自旋的點積有關（對比於自旋－軌道耦合，它和 $\mathbf{S}\cdot\mathbf{L}$ 有關）。

在自旋－自旋耦合存在時，個別自旋角動量不再是守恆量；「好的」量子是*總* 自旋 $$\mathbf{S}\equiv\mathbf{S}_p+\mathbf{S}_e\tag{7.94}$$ 的固有向量。像之前一樣，我們對上式平方，得到 $$\mathbf{S}_p \cdot\mathbf{S}_e=\dfrac{1}{2}\left(S^2-S^2_e-S_p^2\right)。\tag{7.95}$$

但是電子和質子都具有 $1/2$ 的自旋，所以 $S_e^2=S_p^2=(3/4)\hbar^2$。在三重態（自旋「平行」）時總自旋為 $1$，故 $S^2=2\hbar^2$；在單態時自旋為 $0$，故 $S^2=0$。所以 $$E^1_\text{hf}=\dfrac{4g_p\hbar^4}{3 m_pm_e^2c^2a^4}\left\{\begin{array}{ll}+\frac{1}{4},（三重態）；&\\-\frac{3}{4},（單態）。&\end{array}\right.\tag{7.96}$$

自旋－自旋耦合解除了基態的自旋簡併，抬高了三重態的能階，降低了單態的能階（見圖 7.12）。能階差為， $$\Delta E=\dfrac{4g_p\hbar^4}{3 m_pm_e^2c^2a^4}=5.88\times 10^{-6}~\text{eV}。\tag{7.97}$$ 伴隨三重態躍遷到基態所釋放出的光子的頻率為，$$\nu=\dfrac{\Delta E}{h}=1420~\text{MHz}，\tag{7.98}$$ 對應的波長為 $c/\nu = 21~\text{cm}$ ，它屬於微波波段。這個著名的 [**21 公分線**](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/21%E5%85%AC%E5%88%86%E7%B7%9A)（21-centimeter line）是宇宙中最普遍的輻射之一。

![](https://i.imgur.com/KbcZGsB.png =300x)
<font size=2>**圖 7.12：** 氫原子基態的超精細分裂。</font>


