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# System prepended metadata

title: Sec. 12.2
tags: [Quantum Physics II]

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title: Sec. 12.2
author: ulynx
lang: zh-tw
description: 28 Jun 2020 @ 逢甲裡居
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# §12.2　貝爾不等式
###### tags: `Quantum Physics II`
[TOC]

愛因斯坦、[波多爾斯基](https://reurl.cc/pd04ar)（Boris Podolsky）、[羅森](https://reurl.cc/5lWZKR)（Nathan Rosen），就其本身而言，並非要懷疑量子力學的{正確性|○○○}；他們只是主張，量子力學所描述的物理現實（physical reality）是{不完備|○○○}的（incomplete），這意思是說，波函數 $\Psi$ 並不是現實的全貌——除了 $\Psi$ 之外，還需要有{額外|○○}的物理量 $\lambda$，才能徹底描述一個系統的狀態。我們把 $\lambda$ 稱作「隱變量」（hidden variable），因為現階段我們還不知道怎麼計算或測量它。[^7] 許多年來，人們提出許多[隱變量理論](https://reurl.cc/NjdLY5)（hidden variable theories），作為量子力學的補充；這些理論都太過繁雜而難以令人信服，但這不要緊，因為直到 1964 年為止，它們似乎都還是一項值得研究的知名計畫。[^8] 到了 1964 年，[約翰・斯圖爾特・貝爾](https://reurl.cc/z8ROzN)（J. S. Bell）證明：=={任何|○○}局域（local）隱變量理論都與量子力學{不相容|○○○}（incompatible）==。[^9]

貝爾提出一種廣義版的 EPRB 實驗：他允許電子和正子偵測器可以各自「旋轉」，而不是指著{同|○}方向。[^譯註a] 第一個偵測器測量電子自旋在單位向量 $\mathbf{a}$ 方向的分量，第二個偵測器測量正子自旋在單位向量 $\mathbf{b}$ 方向的分量（圖 12.2）。為了簡單起見，我們不妨以 $\hbar/2$ 為單位來記錄自旋；於是，每個偵測器沿著其指定方向，就會記下 $+1$ （對於自旋向上）或 $-1$ （對於自旋向下）的值。經過許多次 $\pi^0$ 介子衰變後，把結果用表格列出，可能看起來如下表：


|   電子   |   正子   |   乘積   |
|:--------:|:--------:|:--------:|
|    +1    |    -1    |    -1    |
|    +1    |    +1    |    +1    |
|    -1    |    +1    |    -1    |
|    +1    |    -1    |    -1    |
|    -1    |    -1    |    +1    |
| $\vdots$ | $\vdots$ | $\vdots$ |

![](https://i.imgur.com/J8hdLzB.png)
<font size=2>**圖12.2：** EPRB 實驗的貝爾方案：偵測器獨立地指向 $\mathbf{a}$ 與 $\mathbf{b}$。</font>

給定的一組偵測器指向，貝爾提議==計算自旋的{乘積|○○}的{平均|○○}值==。把這個平均值叫做 $P(\mathbf{a},\mathbf{b})$。如果兩偵測器是平行的（$\mathbf{b}=\mathbf{a}$），那我們就回到 EPRB 實驗的原始配置；在這個情況下，若其中一個自旋向上，另一個一定是自旋向下，所以乘積恆為 $-1$，所以平均也是如此：$$P(\mathbf{a},\mathbf{a})=-1。\tag{12.2}$$ 出於同樣的理由，如果兩偵測器是{反|○}平行的（anti-parallel）（$\mathbf{b}=-\mathbf{a}$），則每次乘積都是 $+1$，所以 $$P(\mathbf{a},-\mathbf{a})=+1。\tag{12.3}$$ 對於任意指向（的兩個偵測器），量子力學預測 $$\boxed{P(\mathbf{a},\mathbf{b})=-\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{b}}\tag{12.4}$$ （詳見[習題 4.59]()）。貝爾發現，{這個結果與任何局域隱變量理論都不相容|○○○○○○○○○○○○○○○○○○}。

他的論述簡單得驚人。假設==電子－正子系統之「完整」狀態有個特徵，那就是含有一個（或多個）隱變量 $\lambda$==（在一次次的 $\pi$ 介子衰變中，$\lambda$ 是以某種我們不了解、也無法控制的方式變化。）進一步假設，=={電子|○○}的測量結果與{正子|○○}偵測器的指向（$\mathbf{b}$）無關==，畢竟在測量電子之前，實驗者在正子端可能已選好偵測器的方向，所以來不及讓超光速（subluminal）訊息回傳給電子偵測器。（這是==局域性假設==。）然後，有某個函數 $A(\mathbf{a},\lambda)$ 決定了電子測量的結果，另一個函數 $B(\mathbf{b},\lambda)$ 決定了正子測量的結果。這兩個函數只能取值為 $\pm 1$：[^10] $$A(\mathbf{a},\lambda)=\pm 1；\quad B(\mathbf{b},\lambda)=\pm 1。\tag{12.5}$$ 當偵測器對齊時，不論 $\lambda$ 的值如何，結果都是完全（反）相關的：$$A(\mathbf{a},\lambda)=-B(\mathbf{a},\lambda)。\tag{12.6}$$

現在，測量到的乘積平均為 $$P(\mathbf{a},\mathbf{b})=\int\rho(\lambda)A(\mathbf{a},\lambda)B(\mathbf{b},\lambda)\text{d}\lambda，\tag{12.7}$$ 其中 $\rho(\lambda)$ 是隱變量的機率密度。（像任何的機率密度一樣，它的函數值是非負實數，且它也滿足歸一化條件 $\int\rho(\lambda)=1$，但除此以外，我們對 $\rho(\lambda)$ 沒有做更多的假設；不同的隱變量理論也許會對 $\rho$ 有很不一樣的表達方式。）基於 (12.6) 式，我們可以消去 $B$：$$P(\mathbf{a},\mathbf{b})=-\int\rho(\lambda)A(\mathbf{a},\lambda)A(\mathbf{b},\lambda)\text{d}\lambda。\tag{12.8}$$ 如果 $\mathbf{c}$ 是任何{其他|○○}單位向量，則 $$P(\mathbf{a},\mathbf{b})-P(\mathbf{a},\mathbf{c})=-\int\rho(\lambda)\Big[A(\mathbf{a},\lambda)A(\mathbf{b},\lambda)-A(\mathbf{a},\lambda)A(\mathbf{c},\lambda)\Big]\text{d}\lambda。\tag{12.9}$$ 或者，因為 $[A(\mathbf{b},\lambda)]^2=1$： $$P(\mathbf{a},\mathbf{b})-P(\mathbf{a},\mathbf{c})=-\int\rho(\lambda)\Big[1-A(\mathbf{b},\lambda)A(\mathbf{c},\lambda)\Big]A(\mathbf{a},\lambda)A(\mathbf{b},\lambda)\text{d}\lambda。\tag{12.10}$$ 但由 (12.5) 式可推得 $|A(\mathbf{a},\lambda)A(\mathbf{b},\lambda)|=1$；而且 $\rho(\lambda)\Big[1-A(\mathbf{b},\lambda)A(\mathbf{c},\lambda)\Big]\geq0$，所以就得到$$\Big|P(\mathbf{a},\mathbf{b})-P(\mathbf{a},\mathbf{c})\Big|\leq\int\rho(\lambda)\Big[1-A(\mathbf{b},\lambda)A(\mathbf{c},\lambda)\Big]\text{d}\lambda，\tag{12.11}$$ 或者更簡潔的（用到 $\rho$ 的歸一化條件和 (12.8) 式。） $$\boxed{\Big|P(\mathbf{a},\mathbf{b})-P(\mathbf{a},\mathbf{c})\Big|\leq 1+P(\mathbf{b},\mathbf{c})}。\tag{12.12}$$ 

這就是著名的 ==**貝爾不等式**（Bell inequality）。它對{任何|○○}局域隱變量理論都成立==（只受到 (12.5) 和(12.6) 式之最低要求的約束），因為我們沒有做任何關於隱變量的本質、數量或它們（機率）分佈的假設。

但很容易證明出==量子力學的預測（(12.4) 式）跟貝爾不等式不相容==。舉例來說，假設三個向量位在同一平面，向量 $\mathbf{c}$ 與 $\mathbf{a}$ 和 $\mathbf{b}$ 都夾 $45^
\circ$ 角（圖 12.3）；在此情況下，量子力學預測： $$P(\mathbf{a},\mathbf{b})=0、\quad P(\mathbf{a},\mathbf{c})= P(\mathbf{b},\mathbf{c})=-0.707，$$ 這明顯與貝爾不等式不一致： $$0.707\nleq 1-0.707=0.293。$$

![](https://i.imgur.com/pCWfGDd.png =200x)
<font size=2>**圖12.3：** 一種偵測器指向的配置。它證實貝爾不等式違反量子力學。</font>

有了貝爾的修正，則 EPR 佯謬證明了一件極端到連其作者們都沒想像過的事：如果他們是對的，那麼量子力學不只是{不完整|○○○}而已，它根本整個都是{錯的|○○}。令一方面，如果量子力學是對的，將{不|○}會有什麼隱變量理論來拯救我們遠離那種令愛因斯坦感到荒謬的非局域性（nonlocality）。另外，我們將給出一個非常簡單的實驗，一勞永逸地解決這個爭論。[^11]

在 1960、1970 年代，人們進行許多實驗來測試貝爾不等式，結果是以阿斯佩（A. Aspect）、P. Grangier 和 G. Roger 的成果為巔峰。[^12] 其細節在這邊就不多做詳述（他們其實是用雙光子的原子躍遷，不是 $\pi$ 介子衰變。）有某種微小可能性就是正子偵測器以某種方式「感覺到」電子偵測器的方向，為了排除這點，兩個偵測器在光子開始飛行{之後|○○}就要準隨機地（quasi-randomly）重設指向。==實驗結果與量子力學的預測完美一致，但與貝爾不等式卻大相徑庭==。[^13]

諷刺的是，用實驗來確認量子力學這件事為科學界帶來了極大的震撼。但這不是因為它宣告了「實在論」的終結（demise of "realism"）——大多數物理學早就適應這種觀點（對於那些難以接受的人，還是有機會去證實{非局域|○○○}隱變量理論的存在，貝爾不等式就不適用這種理論）。[^14]真正的震撼是實驗證明了 =={大自然從本質上就具有非局域性|○○○○○○○○○○○○○○}==。在正統（量子力學）詮釋中，一直有非局域性的特色，它是以[波函數瞬間塌縮](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%B3%A2%E5%87%BD%E6%95%B0%E5%9D%8D%E7%BC%A9)為形式（就此而言，同樣出現在[全同粒子波函數的對稱化要求](https://reurl.cc/pd0Aml)），不過在阿斯佩的實驗以前，以下觀點仍存有一絲希望：量子非局域性只是形式主義（formalism）下某種不自然的人造物（nonphysical artifact），不會有任何可測量的結果。現在那種希望已不復存在，我們不得不去重新審視我們反對瞬時超距作用（instantaneous action-at-a-distance）的理由。

為什麼物理學家們對於[超光速作用](https://reurl.cc/L3rLNy)（superluminal influence）{這麼|○○}神經質（squeamish）？畢竟，有很多東西都移動得比光還快。如果有一隻小蟲飛越電影放映機的光束前，那麼小蟲影子的速率會正比於到銀幕的距離；原則上，你想要那個距離多大，它就有多大，也因此小蟲的{影子|○○}可以用任意快的速度移動（圖 12.4）。但問題是，影子不會攜帶任何{能量|○○}，也不能從銀幕上的一個點傳遞任何{資訊|○○}到另一個點。一個在 $X$ 點的人不可能透過操縱經過的影子，就在 $Y$ 點{引發任何事|○○○○○}。

![](https://i.imgur.com/e5KQSPw.png)
<font size=2>**圖12.4：** 只要銀幕夠遠，小蟲的影子會在銀幕上以大於光速 $c$ 的速度 $v'$ 移動。</font>



另一方面，比光速行進還快的{因果|○○}作用會帶來難以接受的推論。因為根據狹義相對論，假如存在那種超光速因果作用，則存在一種慣性系，使得訊號在該其中是{逆著時間|○○○○}傳遞的（果先於因），但這會導致無可避免的邏輯異常（anomalies）。（例如你可能計畫去殺掉你那還在襁褓中的祖父。想一想⋯⋯這可不是個好主意。）問題在於，量子力學預測的、以及阿斯佩偵測到的那種超光速作用，在這種意義上，是不是一種{因果|○○}作用？還是說超光速作用是某種（像蟲的影子那樣）「空靈」（ethereal）的作用，[^譯註b] 足以使其免於哲學的攻擊？

讓我們來考慮貝爾的實驗。測量電子會影響到正子的測量嗎？肯定{會|○}影響——不然我們就不能解釋數據中的相關性。但測量電子會使正子{產生|○○}有什麼特別的結果嗎。就日常語言的意義來說，完全不會。操作電子偵測器的人（叫做 Alice）[^譯註c] 完全沒有任何方法可以利用她的測量結果對來正子偵測器的操作者（叫做 Bob）傳遞一則訊號，畢竟 Alice 也不能控制自己的測量結果（她不能{命令|○○}給定電子的測出自旋向上，就好比站在 $X$ 的人不能影響經過的小蟲影子一樣。）Alice 倒是可以決自己{要不要做測量|○○○○○○}，但 Bob 在正子偵測器那端也只能立即得知他那邊的數據，他無從分辨是否已經測量到了電子。由分隔兩地的兩端來收集過來的數據，是完全隨機的。只有到後來當我們{比較|○○}兩個列表時，才發現顯著的相關性。在另一個參考系中，正子的測量會{先於|○○}電子的測量，但這不會導致任何邏輯上的矛盾——觀測到的相關性在對測量順序之下，完全是對稱的；至於到底是電子的觀測影響到正子的觀測，或者說正子的觀測才影響到電子的觀測，則無關宏旨。這是一種精緻絕頂的作用，它只顯現在兩組隨機數據的微妙相關性之中。

現在我們需要區分兩種類型的作用：==「因果」型作用==會對接收者的物理特性造成實際的變化，並可以在接收者的子系統單獨測得；另外一種 ==「空靈」型作用==不傳遞能量或資訊，它存在的唯一跡象是，從兩個分隔的子系統取得的數據的相關性——這種相關性的本質就是，它無法只靠檢驗任一組數據就被人檢測。因果型作用的傳播{不可能|○○○}比光速還快，但實在沒有什麼道理強迫空靈型作用受此限制。與波函數的塌縮有關的那種作用是一種空靈型作用，它比光「行進」得還快這一事實可能令人吃驚，但是這畢竟還不是一場大災難。[^15]

[^7]: 隱變量可能是一個數，或者也可能是一組數的{集合|○○}；也許在將來的某些理論中，$\lambda$ 是可以計算的，或者由於某些原理，$\lambda$ 可能無法計算。這都沒有關係。我所強調的是：一定有某些{東西|○○}與與測量前的系統相聯繫——要是有一張所有可能的實驗的結果{清單|○○}也好。

[^8]: [D. Bohm, *Phys. Rev.* **85**. 166, 180 (1952)](https://journals.aps.org/pr/abstract/10.1103/PhysRev.85.166)。

[^9]: 貝爾的原始論文（[*Physics* **1**, 195 (1964)](https://journals.aps.org/ppf/abstract/10.1103/PhysicsPhysiqueFizika.1.195)，也重刊於 [John S. Bell, *Speakable and Unspeakable in Qunatum Mechanics*, Cambridge University Press, UK (1987)](https://reurl.cc/Njd9nm)）是篇難能可貴的佳作：它簡單明瞭、平易近人，且文筆優美。

[^譯註a]: 【譯者註a】「旋轉」指的是旋轉到不同的「指向」。原著在行文時，交替使用「指向」（orientation）與「方向」（direction）兩詞彙，我將視為同義詞。「指向」指的是偵測器在垂直於粒子行進方向的平面上的方向。可歸納出幾個要點：(1) 電子偵測器的指向是 $\mathbf{a}$，正子偵測器的指向是 $\mathbf{b}$，這兩個指向是兩位操作者獨自預先設定好的；(2) 測量到粒子的自旋之前，操作者沒有任何方法得知對方的指向；(3) 測量到自旋（只可能取值為 $+1$、$-1$）之後，根據兩偵測器的指向，我們想計算「自旋值乘積的平均值」$P(\mathbf{a},\mathbf{b})$。

[^10]: 【作者註10】這種局域性假設跟{古典|○○}決定論者（classical determinist）打算允許的限制比起來，已經做出非常大的讓步，因為它完全捨棄確定論的概念，不再設想粒子可能帶有良好定義的角動量向量，並帶有可同時確定的分量。貝爾的論證重點是要證明量子力學與{任何|○○}局域決定論理論都不相容，即使是那種竭盡所能要通融（accommodating）的那種也一樣。當然，如果你拒絕接受 (12.5) 式，那麼這個理論{明顯|○○}就與量子力學不相容。

[^11]: 【作者註11】貝爾定理目前被廣泛認可為二十世紀影響最深遠的發現之一，

[^12]: 【作者註12】參見 [A. Aspect, P. Grangier, and G. Roger, *Phys. Rev. Lett.* **49**, 91 (1982)](https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.49.91).。 阿斯佩的實驗（如果不可行的話）尚有邏輯上可能的漏洞，但這漏洞已在這幾年逐漸補上；參見 [J. Handsteiner et al., *Phys Rev. Lett.* **118**, 060401 (2017)](https://journals.aps.org/prl/abstract/10.1103/PhysRevLett.118.060401)。目前在大學部實驗室測試貝爾不等式已經是可行的，參見 [D. Dehlinger and M. W. Mitchell, *Am. J. Phys.* **70**, 903 (2002)](https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.1498860)。


[^13]: 【作者註13】由於貝爾定理涉及{平均|○○}，因此可設想：像阿斯佩那種裝置可能暗藏某些偏差，使它選出不具代表性的樣本，因而使平均值失真。可是在 1989 年，有人提出貝爾定理的改良方案，在這方案中，量子力學和任何局域隱變量理論之間的預測都更加懸殊。參見 [D. Greenberger, M. Horne, A. Shimony, and A. Zeilinger, *Am. J. Phys.* **58**, 1131 (1990)](https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.16243) 還有 [N. D. Mermin, *Am. J. Phys.*, **58**, 731, (1990)](https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.16503)。Mary Beck 和他的學生已經進行過一種適合大學部實驗室的實驗（[*Am. J. Phys.* **74**, 180 (2006)](https://aapt.scitation.org/doi/10.1119/1.2167764)）。

[^14]: 【作者註14】這是一個奇妙而曲折的結局：EPR弔詭{假設|○○}定域性，本來是為了要證明實在論的觀點，但最後卻招致定域性的終結，而對實在論尚無定論——（如貝爾所言）這是個愛因斯坦{一點也|○○○}不樂見的結果。現今的物理學家認為，如果沒有局域性，實在論就沒有什麼價值，基於這個原因，非局域隱變量理論是受人矚目的重點。同樣的原因，某些作者辯稱，這樣的理論是最有希望填補在被測體系和測量儀器之間的概念空隙，同時對波函數的塌陷提供一個清晰的機理。最著名的是貝爾本人，在其著作“量子力學中的可說與不可說”(Cambridge University，Press， 1987)

[^譯註b]: 【譯者註b】用 [ethereal](https://reurl.cc/NjdLY5) 來形容非因果的超光速作用的用法應該是作者獨創的，中文尚無固定譯名。

[^譯註c]: 【譯者註c】電子偵測器和正子偵測器操作者的名字為譯者所加。

[^15]: 【作者註15】有關貝爾定理的文章不勝其數。我最喜歡的是 David Mermin 的一篇富有啟發性的短文，參見《今日物理》（*Physics Today*）（1985 年 4 月, 第38頁）。一則詳盡的參考書目可見於 L. E. Ballentine, *Am. J. Phys* **55**, 785 (1987)。




