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# System prepended metadata

title: Sec. 11.5
tags: [Quantum Physics II]

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title: Sec. 11.5
author: ulynx
lang: zh-tw
description: 26 Jun 2020 @ 浮洲宿舍
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# §11.5　絕熱近似
###### tags: `Quantum Physics II`
[TOC]

## §11.5.1　絕熱過程
想像有一個理想單擺在鉛直平面上來回振盪，沒有摩擦力和空氣阻力。如果你握住它的支撐物並且劇烈晃動，單擺就會混亂地搖晃。但是如果你{輕輕地|○○○}移動支撐物（圖 11.12），單擺將在同一個平面（或者與它平行的平面）平滑地擺盪，而且振幅不變。這種{外部條件緩慢變化的過程|○○○○○○○○○○○}定義為**絕熱過程**（adiabatic process）。注意到，這裡涉及到兩個特徵時間（characteristic times）：「內部」時間 $T_i$ 代表系統自身的運動（在此時情況下，$T_i$ 是擺的振盪週期）；和「外部」時間 $T_e$ 代表系統參數明顯變化所需的時間（假如把單擺裝設在旋轉的平台上，那麼 $T_e$ 將是{平台|○○}的轉動週期)。絕熱過程是滿足 $T_e\gg T_i$ 的過程（平台顯著移動之前，單擺就已經擺了許多次）。

![](https://i.imgur.com/Fnmz6Mo.png =250x)
<font size=2>**圖 11.12：** 絕熱運動：如果箱子移動得非常緩慢，裡面的擺將在與原平面平行的平面上擺動，而且振幅維持不變。</font>

如果我把這單擺拿到北極（比如說朝著波特蘭的方向）讓它搖擺會怎麼樣（圖 11.13）？暫時假裝地球沒有自轉。我輕輕地（也就是{絕熱地|○○○}）帶著單擺沿著經線、通過波特蘭、來到赤道。這時它還是朝南北擺盪。然後我又帶著（仍然朝南北擺盪的）單擺沿著赤道走一段距離，最後我沿著另一條經線把它帶回北極。這個單擺的擺盪不再位於跟我出發時的同一平面——當然，新的平面和舊的平面夾了 $\Theta$ 角，其中 $\Theta$ 是南下經線和北上經線之間的夾角。更一般來說，如果你繞著地表上的封閉迴圈移動單擺，（最初和最終擺盪平面之間的）角度偏移量等於路徑對於球心所張的立體角（solid angle subtended by the path with respect to the center of the sphere），如果你有興趣的話可以去自己去證明這一點。

![](https://i.imgur.com/f8BOvsP.png =300x)
<font size=2>**圖 11.13：** 單擺在地表上絕熱移動的路線。</font>

順便一提，[**傅科擺**](https://reurl.cc/L3z9y3)（Foucault pendulum）正好就是在球體上繞著封閉迴圈而進行的一種絕熱移動——差別只在於，不是{我|○}帶著單擺繞圈圈，而是我讓{地球的旋轉|○○○○○}來做這件事。某個緯度 $\theta_0$ 所張的立體角（圖 11.14）為 $$\Omega=\int\sin\theta \,\text{d}\theta\,\text{d}\phi=2\pi(-\cos\theta)\Big|^{\theta_0}_{0}=2\pi(1-\cos\theta_0)\tag{11.89}$$ 相對於（同一時間轉了 $2\pi$ 角度的）地球而言，傅科擺每日進動量（daily precession）是 $2\pi \cos\theta_0$——一般我們都是訴諸於旋轉參考系（rotating reference frame）之中的科氏力（Coriolis forces）而得到的這個結果，但在這裡的脈絡下可視為容許一種純粹的{幾何|○○}詮釋。

![](https://i.imgur.com/u3ojXXi.png =300x)
<font size=2>**圖 11.14：** 傅科擺一天所走的路徑。</font>


分析絕熱過程的基本策略是，==先把外部參數視為{常數|○○}求解問題，僅在計算的{最後|○○}時才允許它們隨時間（緩慢地）變化==。例如古典力學中，長度（固定）為 $L$ 的擺的週期是 $2\pi\sqrt{L/g}$；如果現在長度逐漸{變化|○○}，週期將會是 $2\pi\sqrt{L(t)/g}$。一個更微妙複雜的例子是我們討論過的氫分子離子（[第 8.3 節](https://hackmd.io/@ulynx/IntroQM_8_3)）。我們先假設核{固定不動|○○○○}，相距為 $R$，然後我們求電子的運動。一旦我們得到系統基態能量作為 $R$ 的函數，我們就可以確定平衡位置並根據圖形的曲率得到原子核的振動頻率（習題 8.11）。在分子物理學中，這種方法（首先固定原子核的位置，計算電子的波函數，然後用這些去獲得原子核的位置和其相對緩慢的運動）稱為 **波恩－歐本海默近似**（Born-Oppenheimer approximation）。

## §11.5.2　絕熱定理
在量子力學中，**絕熱近似**（adiabatic approximation）最基本的內容可以表述為如下定理。假設哈密頓函數（Hamiltonian）由初值 $\hat{H}(0)$ 逐漸變化到終值 $\hat{H}(T)$。**絕熱定理**（adiabatic theorem）指出：如果粒子開始時處在 $\hat{H}(0)$ 的第 $n$ 個固有態，它將（按照薛丁格方程式）演化 $\hat{H}(T)$ 的第 $n$ 個固有態。（我假設從 $\hat{H}(0)$ 到 $\hat{H}(T)$ 的演化過程中能譜是離散而且非簡併的，狀態的次序才不會混淆；當有合適的程序「追蹤」固有函數時，以上那些條件可以放寬，但這裡我不打算討論這個。）

### 範例 11.3
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假設我們準備一個位於無限深方阱中基態的粒子（圖 11.15(a)）：$$\psi^i(x)=\sqrt{\dfrac{2}{a}}\sin\left(\dfrac{\pi}{a}x\right)。\tag{11.90}$$
![](https://i.imgur.com/yDbB7Xg.png)
<font size=2>**圖 11.15：** (a) 粒子開始於無限深方阱的基態。 (b) 如果阱壁移動非常{緩慢|○○}，則粒子會維持於基態。 (c\) 如果阱壁移動非常{迅速|○○}，則粒子（暫時）處於它原本的狀態。</font>

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現在如果我們把位能阱右壁逐漸移動到 $2a$，絕熱定理指出粒子將最終處於拓寬之位能阱的基態（圖 11.15(b)）：$$\psi^f(x)=\sqrt{\dfrac{1}{a}}\sin\left(\dfrac{\pi}{2a}x\right)，\tag{11.91}$$

（會有一個相位因子的差，這個我們稍後會討論）。注意這裡我們不是（像微擾理論）在討論哈密頓函數的{微小|○○}變化——我們討論的變化很{巨大|○○}。我們所要求的僅是變化非常{緩慢|○○}。

這裡能量{不|○}守恆，{當然不會|○○○○}：移動阱壁的人會曾系統中吸取能量，這就像活塞緩慢地抽出使氣體膨脹一樣。相比之下，如果位能阱擴展非常迅速，那麼終態仍然是 $\psi^i (x)$ 態（圖 11.15(c\)），它是新哈密頓量之固有態的複雜線性疊加（習題 11.18）。在這種情況下，能量{是|○}守恆的（至少它的{能量期望值|○○○○○}是守恆的）；這像是把擋板突然移開時，氣體{自由|○○}膨脹（進入真空）一樣，過程中不需做功。
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根據絕熱定理，一個系統開始於初始哈密頓函數（$\hat{H}(0)$）的第 $n$ 個固有態，隨著哈密頓函數逐漸變化，系統會演化成瞬時（instantaneous）哈密頓函數（$\hat{H}(t)$）的第 $n$ 個固有態。然而，這沒有告訴我們波函數的{相位|○○}發生了什麼事。對於一個{常數的|○○○}哈密頓函數根據絕熱定理，一個系統開始於初始哈密頓函數（$\hat{H}(0)$）的第 $n$ 個固有態，隨著哈密頓函數逐漸變化，系統會演化成瞬時（instantaneous）哈密頓函數（$\hat{H}(t)$）的第 $n$ 個固有態。然而，這沒有告訴我們波函數的{相位|○○}發生了什麼事。對於一個{常數的|○○○}哈密頓函數而言，波函數會有一個標準的「擺動因子（wiggle factor）」（含時相位因子） $$e^{-iE_nt/\hbar}，$$ 但現在固有態 $E_n$ 可能本身是時間的函數，所以擺動因子自然可以推廣為 $$e^{i\theta_n(t)}，\qquad 其中\quad \theta_n(t)\equiv-\dfrac{1}{\hbar}\int^t_0E_n(t')\,\text{d}t'。\tag{11.92}$$ 這叫做**動力學相位**（dynamic phase）。但這可能還不是故事的結局；因為我們都知道，可能還有一個額外的相位因子 $\gamma_n(t)$，就是所謂的**幾何學相位**（geometric phase）。則在絕熱極限中，$t$ 時刻的波函數有著 $$\Psi_n(t)=e^{i\theta_n(t)}e^{i\gamma_n(t)}\psi_n(t)\tag{11.93}$$ 的形式，其中 $\psi_n(t)$ 是瞬時哈密頓函數的第 $n$ 個固有態，$$\hat{H}(t)\psi_n(t)=E_n(t)\psi_n(t)。\tag{11.94}$$ (11.93) 式是絕熱定理的形式化表述。

當然，$\psi_n(t)$ 本身的相位是任意的（不管你取什麼相位，它還是一個固有函數，有著相同的固有值），所以幾何學相位本身不具有物理意義。但如果我們帶著系統繞著{封閉循環|○○○○}走一圈（像是我們搬到赤道繞一圈又回到北極的那個單擺），使得最終的哈密頓函數和一開始的一樣呢？這樣的話，{淨|○}相位改變是一個可測的量。動力學相位取決於系統所行經的時間，但繞著一個絕熱封閉循環的幾何學相位只取決於系統所行經的路徑。以下這叫做**貝里相位**（Berry's phase）：$$\gamma_B\equiv\gamma(T)-\gamma(0)。\tag{11.95}$$
### 範例 11.4
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想像一個靜止在原點的電子（電荷 $-e$，質量 $m$），出現在磁場之中，磁場的{量值|○○}（$B_0$）是常數，但{方向|○○}以角速率 $\omega$ 掃出一個張角為 $\alpha$ 圓錐（圖 11.16）：$$\mathbf{B}(t)=B_0\left[\sin\alpha\cos(\omega t)\hat{\boldsymbol{\imath}}+\sin\alpha\sin(\omega t)\hat{\boldsymbol{\jmath}}+\cos\alpha\hat{\boldsymbol k}\right]。\tag{11.96}$$ 哈密頓函數（(4.158)式）是 $$\begin{align}\hat{H}(t)&=\dfrac{e}{m}\mathbf{B}\boldsymbol\cdot\mathbf{S}=\dfrac{e\hbar B_0}{2m}\left[\sin\alpha(\omega t)\sigma_x+\sin\alpha\sin(\omega t)\sigma_y+\cos\alpha \sigma_z\right]\\&=\dfrac{\hbar\omega_1}{2}\begin{pmatrix}\cos\alpha&e^{-i\omega t}\sin\alpha\\e^{i\omega t}\sin\alpha&-\cos\alpha\end{pmatrix}，
\end{align}\tag{11.97}$$ 其中 $$\omega_1\equiv\dfrac{eB_0}{m}。\tag{11.98}$$  $\hat{H}(t)$ 歸一化的固有旋量為 $$\chi_+(t)=\begin{pmatrix}\cos(\alpha/2)\\e^{i\omega t}\sin(\alpha/2)\end{pmatrix}\tag{11.99}$$ 和 $$\chi_-(t)=\begin{pmatrix}e^{-i\omega t}\sin(\alpha/2)\\-\cos(\alpha/2)\end{pmatrix}\tag{11.100}$$ 它們分別代表{沿著|○○} $\mathbf{B}(t)$ {的瞬時方向|○○○○○}自旋向上和自旋向下（參見習題 4.33）。對應的固有值為 $$E_\pm=\pm\dfrac{\hbar\omega_1}{2}。\tag{11.101}$$
![](https://i.imgur.com/4MxAoH9.png =270x)
<font size=2>**圖 11.16：** 磁場方向沿著一個圓錐面以角速率 $\omega$ 掃動（(11.96)式）。</font>

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## 習題
### 習題 11.18 *
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一個質量為 $m$ 的粒子處於無限深方阱的基態（(2.22) 式）。忽然間，位能阱被拓寬成原始大小的兩倍——位能阱右邊的牆壁從 $a$ 移動到 $2a$——讓波函數暫時處於未擾動的情況。現在去測量粒子的能量。
- (a) 最可能的測量結果為何？得到該結果的機率為何？
- (b) {下一個|○○○}最可能的測量結果為何？其機率為何？假設你的測量結果又是同一個值；你得到關於能量守恆的什麼結論？
- (c\) 能量的{期望值|○○○}是什麼？*提示：* 如果你發現自己面臨到要處理無窮級數的話，換換別的方式吧。
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### 習題 11.19
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一個粒子處於古典頻率為 $\omega$ 的簡諧振子的基態，忽然間彈簧常數變成四倍，所以 $\omega'=2\omega$，剛開始沒有影響到波函數（當然，$\Psi$ 將會以不同的方式{演化|○○}，因為哈密頓函數已經改變了）。測量到能量回復為原本的值 $\hbar\omega/2$ 的機率是多少？得到 $\hbar\omega$ 的機率是多少？答案：$0.943$。
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### 習題 11.20 **
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請檢查 (11.103) 式對於 (11.97) 式中的哈密頓函數滿足含時薛丁格方程式。也請對  (11.105) 式確認這點，並證明係數的平方和為 $1$，如同歸一化所要求的一樣。
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### 習題 11.21 *
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試求範例 11.4 中一個週期的貝里相位。*提示：* 用 (11.105) 式決定總相位變化，然後減去動力學相位的部分。你將需要用 $\omega/\omega_1$ 展開 $\lambda$ （(11.104)式）。
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### 習題 11.22
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Delta 函數位能阱（(2.117)式）擁有單一束縛態（(2.132)式）。計算當 $\alpha$ 逐漸由 $\alpha_1$ 增加至 $\alpha_2$ 的幾何學相位。如果是以穩定速率（$\text{d}\alpha/\text{d}t=c$）增加，動力學相位在這過程中改變多少？ 
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