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title: Sec. 11.2
author: ulynx
lang: zh-tw
description:
30 May 2020 @ 汐止星巴克；
31 May 2020 @ 浮洲宿舍
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# §11.2　輻射的發射和吸收
###### tags: `Quantum Physics II`
[TOC]
## §11.2.1　電磁波
**圖 11.6：** 電磁波

電磁波（我將稱之為「光」，儘管電磁波可以是紅外線、紫外線、微波、X射線等等；其差別僅在頻率不同）由橫向振盪（且互相垂直）的電場和磁場組成（圖 11.6）。當光波通過一個原子時，主要與光波中的電場相互作用。如果波長（與原子大小相比）很長時，我們可以忽略場的{空間|○○} 變化（spatial variation）；原子便處於一個正弦振盪的電場 $$\mathbf{E}(\mathbf{r},t)=E_0\cos(\omega t)\hat{\mathbf{k}}\tag{11.38}$$ 之中（我暫時==假定光是單色（monochromatic）光，而且沿著 $z$ 方向偏振。==）微擾哈密頓函數為 $$\hat{H'}=-qE_0\hat{z}\cos{\omega t}，\tag{11.39}$$ 其中 $q$ 是電子的電荷量。顯然有[^譯註a] $$\mathsf{H}'_{ba}=-\mathsf{P}_{ba}E_0\cos(\omega t),\quad 其中\quad \mathsf{P}_{ba}\equiv q\langle\psi_b|\hat{z}|\psi_a\rangle。\tag{11.40}$$ $\psi$ 通常是 $z$ 的奇函數或偶函數；不管是哪一種情況，$z\left|\psi\right|^2$ 都會是奇函數，它（對空間）積分後會得到零（這是 [Laporte 法則]()，參見 [§6.4.3]()；習題 11.2 也有例子）這允許我們能照樣假設 $\hat{H'}$ 的矩陣表示的對角元素為零。因此光與物質交互作用的類型就剛好由我們在 [§11.1.3](https://hackmd.io/@ulynx/IntroQM_11_1#%C2%A71113-%E6%AD%A3%E5%BC%A6%E5%BE%AE%E6%93%BE) 中探討的那種振盪微擾所決定，其中 $$\mathsf{V}_{ba}=-\mathsf{P}_{ba} E_0。\tag{11.41}$$
## §11.2.2　吸收、受激發射、自發發射
如果一個原子初始狀態為「較低」能態 $\psi_a$，然後你向它照射一道單色偏振光，躍遷到「較高」能態 $\psi_b$ 的機率由 (11.35) 式所給出，（由於 (11.41) 式）該機率形如 $$P_{a\to b}(t)=\left(\dfrac{|\mathsf{P}_{ba}|E_0}{\hbar}\right)^2\dfrac{\sin^2\left[(\omega_0-\omega)t/2\right]}{(\omega_0-\omega)^2}。\tag{11.42}$$ 在這個過程中，==原子從電磁波吸收 $E_b-E_a=\hbar\omega_0$ 的能量==，所以這個過程稱為**吸收**（absorption）。（我們有個不正式的說法：原子「吸收了一個光子」（圖 11.7(a)）。技術上來說，「光子」一詞屬於**量子電動力學**（quantum electrodynamics）——電磁場的量子理論——雖然我們用<span style="border-bottom: 1px dashed;">古典</span>的方式來處理場，但只要你不過份解讀，這個說法很方便。）

**圖 11.7：** 三種光與原子交互作用的方式：(a) 吸收、(b) 受激發射、(c\) 自發發射。

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當然，對於一開始位於{高|○}能態（$c_a(0)=0$、$c_b(0)=1$）的系統，我們也可以回頭進行整個推導。如果你想做的話，請自己做推導；這次我們計算的是{向下|○○}躍遷到{低|○}能量態的機率 $P_{b\to a}=|c_a(t)|^2$：$$P_{b\to a}(t)=\left(\dfrac{|\mathsf{P}_{ba}|E_0}{\hbar}\right)^2\dfrac{\sin^2\left[(\omega_0-\omega)t/2\right]}{(\omega_0-\omega)^2}\tag{11.43}$$ 除了這點之外，其餘結果會{完全一樣|○○○○}。（結果當然{必須|○○}一樣，因為我們唯一做的事情就是將 $a$ 和 $b$ 對調，這讓 $\omega_0$ 被 $-\omega_0$ 代換。當我們得到 (11.32) 式的時候，）但此時如果你們停下來思考一下，這絕對是一個令人吃驚的結果：==如果這個粒子是處在高能態，你用光照射它，它可以向低能態躍遷，並且躍遷機率與由低能態向高能態的躍遷機率完全相同==。這個過程由愛因斯坦首先預言，稱為**受激發射**（stimulated emission）。

在受激發射的情況下，電磁場從原子{獲得|○○}了能量 $\hbar\omega_0$；我們說一個光子的進入而導致{兩個|○○}光子出來導致躍遷發生的原來的一個光子，加上躍遷自身產生的另一個光子（圖 9.4(b)）。這就有了光{放大|○○}（amplification）的可能性，因為如果我有一瓶原子，所有的原子都處在高能態，這時用一個光子激發它，就會發生連鎖反應，一開始的光子產生 $2$ 個光子，$2$ 個產生 $4$ 個，以此類推。我們將會得到大量的光子，它們的頻率相同，而且實際上是同時產生的。這就是**雷射**（laser：++l++ight ++a++mplification by ++s++timulated ++e++mission of ++r++adiation；輻射的受激發射所產生的光放大）的原理。注意，(對雷射產生而言，)必須使大多數原子處於高能態（即所謂的[**居量反轉**](https://zh.wikipedia.org/zh-tw/%E5%B1%85%E9%87%8F%E5%8F%8D%E8%BD%89)（population inversion）），因為{吸收|○○}（會{消耗|○○}一個光子）與受激發射（會{收成|○○}一個光子子）抗衡；如果你從兩個狀態的均勻混合狀態開始，那你將不會得到任何的光放大。

（除了吸收和受激發射外，）輻射還有{第三|○○}種與物質相互作用的機制；它叫作**自發發射**（spontaneous emission）。==處於激發態的原子會向下躍遷，並釋放一個光子==，這種過程{無需|○○}施加任何電磁場就可啟動（圖>施加任何電磁場就可啟動（圖 9.4(c\)）。這種機制能夠解釋原子處在激發態會自然的衰變（decay）。自發發射{到底|○○}為什麼會發生，乍看之下，原因不是很清楚。因為如果一個原子處在穩定態（即使是激發態），在沒有外部微擾時，它將永遠處於此穩定態。所以假如所有的外部微擾{確實|○○}不存在，那麼它也{應該|○○}處於穩定態。然而，在量子電動力學中，{即使處於基態|○○○○○○}，場也是非零的——就像諧振子一樣，處在基態時仍有非零的能量（即 $\hbar\omega/2$）。你可以關閉所有的燈源，並把屋子冷卻到絕對零度，卻還是有些電磁輻射存在，正是這個「零點」（zero point）輻射催生了自發發射。一旦你考慮到這點，就會明白並沒有{真正|○○}意義上的自發發射；{所有|○○}自發發射都是受激發射。唯一的差別只在於，這個導致激發的場是{你|○}放的，還是{上帝|○○}放的。在這個意義上，這個過程和古典輻射過程完全相反；在古典輻射過程中，{所有|○○}輻射都是自發的，沒有所謂的{受激|○○}發射。

## §11.2.3　非同調微擾
電磁波的能量密度是[^11] $$u=\dfrac{\epsilon_0}{2}E_0^2，\tag{11.44}$$ 其中 $E_0$ 是電場的振幅。所以，躍遷機率（(11.43)式）正比於場的能量密度就自然是 $$P_{b\to a}(t)=\dfrac{2u}{\epsilon_0\hbar^2}\left| \mathsf{P}_{ba}\right|^2\dfrac{\sin^2\left[(\omega_0-\omega)t/2\right]}{(\omega_0-\omega)^2}\tag{11.45}$$ 但這只對單一頻率 $\omega$ 的**單色**光成立。在許多應用中，系統是暴露在一整段頻率*範圍*的電磁波中；在那種情況下，$u\to \rho(\omega)\text{d}\omega$，其中 $\rho(\omega)\text{d}\omega$ 是在頻率範圍 $\text{d}\omega$ 內的能量密度，而淨躍遷機率具有積分形式：[^12] $$P_{b\to a}(t)=\dfrac{2\left| \mathsf{P}_{ba}\right|^2}{\epsilon_0\hbar^2}\int^\infty_0\rho(\omega)\left\{\dfrac{\sin^2\left[(\omega_0-\omega)t/2\right]}{(\omega_0-\omega)^2}\right\}\text{d}\omega\tag{11.46}$$

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上式大括號中的項，在 $\omega_0$ 附近有尖峰（圖 11.5），而 $\rho(\omega)$ 通常分布較寬，所以我們也可以用 $\rho(\omega_0)$ 代替 $\rho(\omega)$，並把它提到積分之外：$$P_{b\to a}(t)\approx\dfrac{2\left| \mathsf{P}_{ba}\right|^2}{\epsilon_0\hbar^2}\rho(\omega_0)\int^\infty_0\dfrac{\sin^2\left[(\omega_0-\omega)t/2\right]}{(\omega_0-\omega)^2}\text{d}\omega\tag{11.47}$$ 做變數變換 $x\equiv (\omega_0-\omega)t/2$，並把積分上下限擴展到 $x=\pm\infty$（<font color=red>畢竟被積函數在 $x=\pm\infty$ 基本上是零</font>），然後查詢定積分 $$\int_{-\infty}^{\infty} \dfrac{\sin^2 x}{x^2}\text{d}x=\pi，\tag{11.48}$$ 我們就得到 $$\require{color}P_{b\to a}(t)\approx \dfrac{\pi\left|\mathsf{P}_{ba}\right|^2}{\epsilon_0\hbar^2}\rho(\omega_0)t\left.\color{red}\dfrac{1}{2}\right.。\tag{11.49}$$ 這次躍遷機率和時間 $t$ 成正比。當系統受到一系列非同調（incoherent）的頻率作用時，單色光微擾時的特徵——奇異「跳躍」現象——被「撫平」了。特別是，躍遷率（$R\equiv\text{d}P/\text{d}t$）現在是{常數|○○}：$$R_{b\to a}= \dfrac{\pi\left| \mathsf{P}_{ba}\right|^2}{\epsilon_0\hbar^2}\rho(\omega_0)。\tag{11.50}$$

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到目前為止，我們假設微擾波只從 $y$ 方向入射（圖 11.6），且振盪方向沿著 $z$ 方向。但我們更感興趣的情況是，原子身處的輻射來自{所有|○○}方向、有著所有可能的偏振方向，而且不同方向的輻射對場的能量（$\rho(\omega)$）貢獻相同。我們需要做的是用 $\left|\unicode{x1D5E3}_{ba}\cdot \hat{\mathbf{n}}\right|^2$ 來代替 $| \mathsf{P}_{ba}|^2$，其中[^譯註b] $$\unicode{x1D5E3}_{ba}\equiv q\langle\psi_b|\mathbf{r}|\psi_a\rangle\tag{11.51}$$ （是(11.40)式的推廣），而且平均值是對所有偏振方向和所有入射方向的平均。

上述平均值可由下列方式求出：選擇球坐標，使得行進方向（$\hat{\bf{k}}$）對齊 $x$ 軸、偏振方向（$\hat{\bf{n}}$）對齊 $z$ 軸，並用向量 $\unicode{x1D5E3}_{ba}$ 定義出球面角 $\theta$ 和 $\phi$（圖 11.8）。[^13]（實際上，這裡的 $\unicode{x1D5E3}_{ba}$ 是固定的，這樣我們就要對所有滿足 $\hat{\bf{k}}\perp\hat{\bf{n}}$ 的 $\hat{\bf{k}}$ 和 $\hat{\bf{n}}$ 求平均，也就是對所有 $\theta$ 和 $\phi$ 求平均。但我們不妨==保持 $\hat{\bf{k}}$ 和 $\hat{\bf{n}}$ 固定，並對所有方向的 $\unicode{x1D5E3}_{ba}$ 積分==，兩種方式是一樣的。）則有 $$\unicode{x1D5E3}_{ba}\cdot \hat{\mathbf{n}}=|\unicode{x1D5E3}_{ba}|\cos\theta，\tag{11.52}$$ 以及 $$\begin{align}\left|\unicode{x1D5E3}_{ba}\cdot \hat{\mathbf{n}}\right|_{\text{ave}}^2&=\dfrac{1}{4\pi}\iint|\unicode{x1D5E3}_{ba}|^2\cos^2\theta\ \sin\theta\ \text{d}\theta\ \text{d}\phi\\&=\dfrac{|\unicode{x1D5E3}_{ba}|^2}{4\pi}(2\pi)\left.\left(-\dfrac{\cos^3\theta}{3}\right)\right|^\pi_0=\dfrac{1}{3}|\unicode{x1D5E3}_{ba}|^2。\tag{11.53}\end{align}$$

**圖 11.8：** 求 $\left|\unicode{x1D5E3}_{ba}\cdot \hat{\mathbf{n}}\right|^2$ 的平均所用的坐標軸[^譯註b]

結論：
: 在非同調、非偏振（unpolarized）光從所有方向入射的作用下，系統從狀態 $b$ 受激發射到狀態 $a$ 的躍遷率為 $$\boxed{R_{b\to a}=\dfrac{\pi}{3\epsilon_0\hbar^2}\left| \unicode{x1D5E3}_{ba}\right|^2\rho(\omega_0)}，\tag{11.54}$$ 其中 $\unicode{x1D5E3}_{ba}$[^譯註b] 是電偶極矩向量在兩個狀態之間的矩陣元素（(11.51)式），而且 $\rho(\omega_0)$ 是每單位頻率電場中的能量密度[^譯註c]，在頻率為 $\omega_0=(E_b-E_a)/\hbar$ 處取值。

[^譯註a]: 【譯註a】這裡的 $\mathsf{P}_{ba}$ 的 P 代表電偶極矩，而且如同(11.13)式的 $\mathsf{H}'_{ab}$、(11.32)式的 $\mathsf{V}_{ab}$ 一樣，都是系統在兩個能階之間躍遷時，算符的==矩陣表示的元素==；課本以手寫體 $\mathscr{P}$ 表示（Mathjax：`$\unicode{x1D4AB}$` 或 `\mathscr{P}`）。
[^譯註b]: 【譯註b】這裡的 $\unicode{x1D5E3}_{ba}$ 如同譯註a所述為==矩陣元素==，但也是==向量==，其量值寫在作者註13；課本以手寫粗體 $\unicode{x1D4DF}$ 表示 （Mathjax：`$\unicode{x1D4DF}$`）。
[^譯註c]: 【譯註c】能量密度的譜密度（spectral density）？
[^11]: 【作者註11】參見 David J. Griffiths, *Introduction to Electrodynamics*, 4th edn, (Cambridge University Press, Cambridge, UK, 2017), Section 9.2.3. 一般而言，電磁場中每單位體積的能量為 $$u=(\epsilon_0/2)E^2+(1/2\mu_0)B^2。$$ 對電磁波而言，電場和磁場貢獻相等，所以 $$u=\epsilon_0E^2=\epsilon_0E_0^2\cos^2(\omega t)，$$ 然後因為 $\cos^2$（或 $\sin^2$）每個完整週期的平均值是 $1/2$，所以（電磁波能量密度）的平均值是 $(\epsilon_0/2)E_0^2$。
[^12]: 【作者註12】(11.46)式假定，不同頻率的微擾彼此是{獨立的|○○○}，因此總躍遷機率是個別機率的總和。如果不同的分量是**同調**（coherent）（相位相關的phase-correlated），那麼我們應該對{振幅|○○}（$c_b(t)$）求和，而不是對{機率|○○}（$|c_b(t)|^2$）求和，於是就會有交叉項出現。為了應用，我們將會一直把微擾視為非同調。
[^13]:【作者註13】我會把 $\unicode{x1D5E3}_{ba}$ 當成是{實數|○○}，雖然說一般而言它是複數。因為 $$\left|\unicode{x1D5E3}_{ba}\boldsymbol\cdot\hat{\mathbf{n}}\right|^2=\left|\text{Re}(\unicode{x1D5E3}_{ba})\boldsymbol\cdot\hat{\mathbf{n}}+i\ \text{Im}(\unicode{x1D5E3}_{ba})\boldsymbol\cdot\hat{\mathbf{n}}\right|^2=\left|\text{Re}(\unicode{x1D5E3}_{ba})\boldsymbol\cdot\hat{\mathbf{n}}\right|^2+\left|\text{Im}(\unicode{x1D5E3}_{ba})\boldsymbol\cdot\hat{\mathbf{n}}\right|^2，$$ 所以我們可以分別計算實部和虛部，然後直接把兩者相加。在 (11.54) 式中絕對值 $$|\unicode{x1D5E3}|^2=|\mathsf{P}_x|^2+|\mathsf{P}_y|^2+|\mathsf{P}_z|^2$$ {同時|○○}代表著「向量的量值（magnitude）」和「複數的幅值（amplitude；模數，modulus）」。