# Berry's paper
###### tags: `Quantum Physics II`
- 期刊名：*[Proceedings of the Royal Society of London. Series A](https://www.jstor.org/journal/procroyasocilond)* （《皇家學會會誌 A輯－數學、物理和工程科學》）
- 期數：392
- 頁數：45-57
- 年份：1984
- 作者：M. V. Berry（[麥可·貝里](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E8%BF%88%E5%85%8B%E5%B0%94%C2%B7%E8%B4%9D%E9%87%8C) ）
布里斯托大學 H. H. Wills 物理實驗室
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# 絕熱變化所帶有的量子相位因子<br>（Quantal phase factors accompanying adiabatic changes）</br>

(Recieved 13 June 1983)

## 1 簡介
想像一個量子系統，其哈密頓函數 $\hat{H}$ 描述一個穩定（unchanging）環境的效應，並且令此系統處於一穩定態。如果環境慢慢改變，$\hat{H}$ 也慢慢改變，於是由絕熱定理（Messiah 1962）可推得，在任一時刻系統會處於瞬時 $\hat{H}$ 的固有態。特別是，如果哈密頓函數回到它原本的形式，系統也會回到它原本的狀態，只差一個相位因子。如果讓處於循環中的系統與一個較早與它分離、且哈密頓量一樣的系統再結合，這個相位因子可以透過干涉被觀察到。

本文的目的在於==解釋相位因子為什麼除了我們熟悉的、伴隨任何穩定態演化而來的動力學部分（dynamical component）$\exp{(-iEt/\hbar)}$ 以外，還會包含一個跟環路相關的（circuit-dependent）部分 $\exp(i\gamma)$==。在第二節我們會得到 $\gamma$ 用 $\hat{H}$ 來表示的的一般公式；如果環路很接近 $\hat{H}$ 的能譜的一個簡併（degeneracy），則 $\gamma$ 的形式會特別簡單，這會在第三節推導；這個作為特殊情形的簡單形式，包含系統固有態的簡併而有的變號，其中系統的哈密頓函數是實埃爾米特算符。（Herzberg & Longuet-Higgins 1963; Longuet-Higgins 1975; Mead 1979; Mead & Truhlar 1979; Mead 1980a, b; Berry & Wilkinson 1984）
$\gamma$ 可以被明確算出的另一個例子是，一個有任意自旋的粒子處在緩慢旋轉的磁場之固有狀態（第四節），這個粒子也提供了一些可以被實驗證實的預測。這個相位因子對玻色子和費米子都存在。一個特殊的例子是旋量（spionor）旋轉 $2\pi$ 之後的變號，這由 Aharonov & Sussking (1967) 所預測；我們將可證明這種變號與中子進動實驗中測量到的動力學相位因子（dynamical phase factor）不同（由 Silverman 1980 評論）。
最後，在第五節我們會證明在磁場不存在時，磁向量位（magnetic vector potentials）的物理效應可以被理解成幾何相位因子的特殊情況，這效應由 Aharonov & Bohm (1959) 所預測、且被 Chambers (1960) 觀察到。

## 2 相位因子的一般公式
令哈密頓函數 $\hat{H}$ 和一些變動的參數 $\mathbf{R}=(X,Y,\ldots)$ 有關，因此受它們的影響。則系統在時間 $t=0$ 和 $t=T$ 之間的演進可以描繪成在參數空間（parameter space）中繞封閉路徑 $\mathbf{R}(t)$ 的移動。從此之後我們稱這路徑為環路（circuit）且記作 $C$。為了使絕熱近似可以應用， $T$ 必須要很大。

系統的狀態 $|\psi(t)\rangle$ 會根據（含時）薛丁格方程式而演化 $$\hat{H}(\mathbf{R}(t))|\psi(t)\rangle =i\hbar|\dot\psi(t)\rangle。\tag{1}$$ 在任一時刻，由 $\hat{H}(\mathbf{R})$ 對於 $\mathbf{R}=\mathbf{R}(t)$ 的固有態 $|n(\mathbf{R})\rangle$ （假設為離散）構成了自然基底，這些固有態伴隨著（固有）能量 $E_n(\mathbf{R})$，滿足 $$\hat{H}(\mathbf{R})|n(\mathbf{R})\rangle =E_n(\mathbf{R})|n(\mathbf{R})\rangle ，\tag{2}$$ 這個固有值方程式意味著，對於不同 $\mathbf{R}$ ，固有狀態的相位也沒有關聯。因應目前的需求，只要 $|n(\mathbf{R})\rangle$ 在參數空間中包含環路 $C$ 的的面域（domain）內是單值函數，就可以選擇任何（可微的）相位。

一個系統一開始處於這些固有狀態 $|n(\mathbf{R}(0))\rangle$ 的其中之一，然後經歷絕熱過程而隨著 $\hat{H}$ 而演化，在 $t$ 時刻處於 $|n(\mathbf{R}(t))\rangle$ 狀態。

於是 $|\psi(t)\rangle$ 可以寫成 $$|\psi(t)\rangle=\exp\left\{\dfrac{-i}{\hbar}\int^t_0\text{d}t'\,E_n(\mathbf{R}(t’))\right\}\exp(i\gamma_n(t))|n(\mathbf{R}(t))\rangle\tag{3}$$ 第一個指數函數就是熟悉的動力學相位因子。本文要關注的對象是第二個指數函數。其中一個重點將會是相位 $\gamma_n(t)$ 不可積；以及 $\gamma_n(t)$ 不能寫成一個 $\mathbf{R}$ 的函數，尤其是它在繞環路的延拓（continuation）下也不是單值函數，也就是說 $\gamma_n(T)\neq\gamma_n(0)$。

$|\psi(t)\rangle$ 滿足薛丁格方程式這個條件決定出函數 $\gamma_n(t)$，直接將 (3) 式代入 (1) 式可以得出 $$\require{cancel}\dot\gamma_n(t)=i\Big< n(\mathbf{R}(t))\Big|\boldsymbol\nabla_\mathbf{R} n(\mathbf{R}(t))\Big>\boldsymbol\cdot\dot{\mathbf{R}}(t)。\tag{4}$$

> #### (4) 式的推導
> 將 (3) 式的 $|\psi(t)\rangle$ 代入薛丁格方程式（(1) 式），得$$\begin{align}\hat{H}|\psi(t)\rangle&=i\hbar|\dot\psi\rangle\\
\hat{H}\left(e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}|n\rangle\right)&=i\hbar\frac{\partial}{\partial t}\left(e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}|n\rangle\right)\\
e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}E_n|n\rangle&=i\hbar\left(i\dot\theta_ne^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}|n\rangle+i\dot\gamma_ne^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}|n\rangle+e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}|\dot n\rangle\right)\\
\cancel{e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}E_n|n\rangle}&=\cancel{i^2\hbar\left(-\tfrac{1}{\hbar}E_n\right)e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}|n\rangle}-\hbar\dot\gamma e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}|n\rangle+i\hbar e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}|\dot n\rangle\\
\hbar\dot\gamma e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}|n\rangle&=i\hbar e^{i\theta_n}e^{i\gamma_n}|\dot n\rangle，\tag{4-i}\end{align}$$
> 在上式中我們有用到 $\hat{H}|n\rangle=E_n|n\rangle$（(2) 式）；另外，我們可定義 $$\theta_n(t)\equiv-\dfrac{1}{\hbar}\int^t_0\text{d}t’\,E_n(\mathbf{R}(t’))，\tag{4-ii}$$ 所以我們也有用到 $$\dot\theta_n(t)=-\dfrac{1}{\hbar}E_n。\tag{4-iii}$$
> 然後由 (i) 式繼續推得 $$\begin{align}\dot\gamma |n\rangle&=i |\dot n\rangle\\
\dot\gamma \langle n|n\rangle&=i \langle n|\dot n\rangle\\
\dot\gamma_n(t)&=i\left<n(\mathbf{R}(t))\middle|\dfrac{\partial}{\partial t}n(\mathbf{R}(t))\right>\\&=i\Big< n(\mathbf{R}(t))\Big|\boldsymbol\nabla_\mathbf{R} n(\mathbf{R}(t))\Big>\boldsymbol\cdot\dot{\mathbf{R}}(t)，\tag{4-iv}\end{align}$$ 這裡有用到 $$\left|\dfrac{\partial}{\partial t}n(\mathbf{R}(t))\right>=\sum_{j=1}^N\dfrac{\partial|n(\mathbf{R}(t))\rangle}{\partial R_j}\dfrac{\text{d}R_j}{\text{d}t}=\boldsymbol\nabla_\mathbf{R}\Big|n(\mathbf{R}(t))\Big>\boldsymbol\cdot\dot{\mathbf{R}}(t)，\tag{4-v}$$ 其中 $\mathbf{R}(t)\equiv\left(R_1(t),R_2(t),\ldots,R_N(t)\right)$ 以及$$\boldsymbol\nabla_\mathbf{R}\equiv\sum^N_{j=1}\frac{\partial}{\partial R_j}。\tag{4-vi}$$

繞著 $C$ 的總相位變化（total phase change）由 $$|\psi(T)\rangle=\exp(i\gamma_n(T))\exp\left\{\dfrac{-i}{\hbar}\int^T_0\text{d}t\, E_n(\mathbf{R}(t))\right\}|\psi(0)\rangle，\tag{5}$$ 所給出，其中***幾何相位變化***（geometrical phase change）為 $$\boxed{\gamma_n(T)=i\oint_C\Big<n(\mathbf{R})\Big|\boldsymbol\nabla_\mathbf{R}n(\mathbf{R})\Big>\boldsymbol\cdot \text{d}\mathbf{R}}。\tag{6}$$
<font color=darkcyan>* 譯者註1：$\mathbf{a}\boldsymbol\cdot\mathbf{b}$ 在這裡是參數空間中的內積，參數空間中的向量用粗體（`\mathbf`）表示；$\langle a|b\rangle$ 是狀態空間中的內積，狀態空間中的向量用狄拉克括號（bra 與 ket）表示。<br>* 譯者註2：關於 (5)、(6) 式，原文是寫 $\gamma_n(C)$ ，但我覺得寫 $\gamma_n(T)$ 比較合理，Griffiths 也是寫 $\gamma_n(T)$。</br></font>

> #### (5) 式的推導
> 分別把 $t=0$ 和 $t=T$ 代入 (3)，得到 $$|\psi(0)\rangle=\underbrace{\exp\left\{\dfrac{-i}{\hbar}\int^0_0\text{d}t'\,E_n(\mathbf{R}(t'))\right\}}_{=\,1}\underbrace{\exp(i\gamma_n(0))}_{=\,1}\Big|n(\mathbf{R}(0))\Big>=\Big|n(\mathbf{R}(0))\Big>\tag{5-i}$$ 和 $$|\psi(T)\rangle=\exp\left\{\dfrac{-i}{\hbar}\int^T_0\text{d}t'\,E_n(\mathbf{R}(t'))\right\}\exp(i\gamma_n(T))\Big|n(\mathbf{R}(T))\Big>\tag{5-ii}$$ 但因為 $\mathbf{R}(T)=\mathbf{R}(0)$ 所以 $$
|\psi(T)\rangle=\exp\left\{\dfrac{-i}{\hbar}\int^T_0\text{d}t\,E_n(\mathbf{R}(t))\right\}\exp(i\gamma_n(T))|\psi(0)\rangle\tag{5-iii}$$

> #### (6) 式（貝里相位）的一般版本：（Griffiths 第二版的 (10.48) 式）
> $$\boxed{\gamma_n(t)=i\int^{\mathbf{R}_f}_{\mathbf{R}_i}\Big<n(\mathbf{R})\Big|\boldsymbol\nabla_\mathbf{R}n(\mathbf{R})\Big>\boldsymbol\cdot \text{d}\mathbf{R}}。\tag{6-i}$$

所以 $\gamma_n(T)$ 是來自參數空間中的環路積分，與環路怎麼<font color=darkcyan>（在狀態空間中）</font>移動有關（當然這是在移動慢到使絕熱近似成立的情況下）。$|n\rangle$ 的歸一化蘊含了 $\langle n|\boldsymbol\nabla_\mathbf{R}n\rangle$ 是（純）虛數，這樣讓 $\gamma$ 保證是實數。

> #### $\gamma_n$ 是實數的證明
> $\langle n|n\rangle=1$ 是歸一化的，也就是說 $|n\rangle$，所以顯然有 $\nabla_\mathbf{R}\langle n|n\rangle=0$，就是 $$\langle \nabla_\mathbf{R}n|n\rangle+\langle n|\nabla_\mathbf{R}n\rangle=\langle n|\nabla_\mathbf{R}n\rangle^*+\langle n|\nabla_\mathbf{R}n\rangle=0，$$ 可看出$\langle n|\nabla_\mathbf{R}n\rangle$ 及其共軛複數的和為零，這說明了 $\langle n|\nabla_\mathbf{R}n\rangle$ 是純虛數。但 (6) 式給出 $\gamma_n=i\oint\langle n|\nabla_\mathbf{R}n\rangle\boldsymbol\cdot \text{d}\mathbf{R}$，所以 $\gamma_n$ 是實數。這樣一來，$e^{i\gamma_n}$ 就只會是相位因子，不會是指數因子（exponetia factor）。
>

直接計算 $|\nabla_\mathbf{R}n\rangle$ 需要一個 $|n\rangle$ 的局部單值（locally single-valued）基底，並不容易計算。可以把 (6) 式的環路積分變換成表面積分來避免這個困難，該表面積分是在參數空間中、以 $C$ 為邊界的的任一<font color=darkcyan>面域 $D$</font> 上進行<font color=darkcyan>，即 $C=\partial D$</font>。為了應用我們熟悉的向量微積分，要把參數空間視為三維的，而且三維的參數空間將會成為應用上的重要特例；我會本節的最後簡述一下在更高維度的推廣。

對 (6) 式使用斯托克斯定理（Stoke's theorem），用明顯簡化過的記號表示，就得到 $$\begin{align}\gamma_n(T)&=-\text{Im}\iint_D\text{d}\mathbf{S}\boldsymbol\cdot\boldsymbol{\nabla\times}\langle n|\boldsymbol\nabla n\rangle\tag{7a}\\&=-\text{Im}\iint_D\text{d}\mathbf{S}\boldsymbol\cdot\langle \boldsymbol\nabla n|\boldsymbol{\times}|\boldsymbol\nabla n\rangle\tag{7b}\\&=-\text{Im}\iint_D\text{d}\mathbf{S}\boldsymbol\cdot\sum^\infty_{m\neq n}\langle \boldsymbol\nabla n|m\rangle\boldsymbol{\times}\langle m|\boldsymbol\nabla n\rangle\tag{7c}，\end{align}$$

> #### (7a) 到 (7b) 式的推導
> $\boldsymbol\nabla$ 和 $\boldsymbol\times$ 都是在參數空間中作用，可以把與 $\langle n|$ 在狀態空間中的內積當成是乘以參數空間中的純量函數 $f$，然後使用向量微積分的性質 $\boldsymbol{\nabla\times}(f\mathbf{A})=\boldsymbol\nabla f\boldsymbol\times\mathbf{A}+f\boldsymbol{\nabla\times}\mathbf{A}$ 和 $\boldsymbol{\nabla\times }(\boldsymbol\nabla f)=\mathbf{0}$

> #### (7b) 到 (7c) 式的推導
> 在 (7b) 式的 $\langle \boldsymbol\nabla n|\boldsymbol{\times}|\boldsymbol\nabla n\rangle$ 中間插入一個狀態空間中的恆等算符（identity operator）$\displaystyle\hat{1}=\sum^{\infty}_{m=1} |m\rangle\langle m|$，求和符號是針對狀態空間中的向量；<font color=red>因為 $\boldsymbol\times$ 是在參數空間中作用，但狀態空間中的向量相當於參數空間中的純量，所以可以調整位置變成 (7c) 式。</font>

其中 $\text{d}\mathbf{S}$ 表示 $\mathbf{R}$ 空間中的面積元素，而且因為 $\langle n|\boldsymbol\nabla n\rangle$ 是虛數，求和之中排除了 $m=n$ 那項。由 (2) 式可得到非對角元素（off-diagonal elements）為 $$\langle m|\boldsymbol\nabla n\rangle=\dfrac{\Big< m\Big|\boldsymbol\nabla\hat{H} \Big|n\Big>}{E_n-E_m}，\quad m\neq n。\tag{8}$$

> #### (8) 式的推導
> 假設 $m\neq n$。由 (2) 式，得到 $$\begin{align}\hat{H}|n\rangle &=E_n|n\rangle\\\hat{H}|m\rangle &=E_m|m\rangle\end{align}，\tag{8-i}$$ 讓算符 $\boldsymbol\nabla$ 作用於它們之上$$\begin{align}\boldsymbol\nabla\hat{H}|n\rangle&=E_n|\boldsymbol\nabla n\rangle\\\boldsymbol\nabla\hat{H}|m\rangle&=E_m|\boldsymbol\nabla m\rangle\end{align}，\tag{8-ii}$$ 分別與 $\langle m|$ 和 $\langle n|$ 做內積，$$\begin{align}\langle m|\boldsymbol\nabla\hat{H}|n\rangle &=E_n\langle m|\boldsymbol\nabla n\rangle\\\langle n|\boldsymbol\nabla\hat{H}|m\rangle &=E_m\langle n|\boldsymbol\nabla m\rangle\end{align}，\tag{8-iii}$$ 再讓兩式相減：
>

於是 $\gamma_n$ 就可以表達成 $$\gamma_n(T)=-\iint_D\text{d}\mathbf{S}\boldsymbol\cdot\mathbf{V}_n(\mathbf{R})，\tag{9}$$ 其中 $$\mathbf{V}_n(\mathbf{R})\equiv \text{Im}\sum^\infty_{m\neq n}\frac{\Big<n(\mathbf{R})\Big|\boldsymbol\nabla_\mathbf{R}\hat{H}(\mathbf{R})\Big|m(\mathbf{R})\Big>\boldsymbol\times\Big<m(\mathbf{R})\Big|\boldsymbol\nabla_\mathbf{R}\hat{H}(\mathbf{R})\Big|n(\mathbf{R})\Big>}{\Big(E_m(\mathbf{R})-E_n(\mathbf{R})\Big)^2}\tag{10}$$ 很明顯地，對於原路折返而沒有包住任何面積的環路而言，$\gamma_n(T)$ 等於零。

## 4 磁場中的自旋
一個具有（整數或半整數）自旋 $s$ 的粒子藉由哈密頓算符 $\hat{H}(\mathbf{B})=\kappa\hbar\mathbf{B}\boldsymbol\cdot\hat{\mathbf{S}}，\tag{20}$ 其中 $\kappa$ 是個涉及旋磁比的常數，還有 $\hat{\mathbf{S}}$ 是向量自旋算符，它有 $2s+1$ 個相差整數且介於 $-s$ 和 $+s$ 之間的固有值 $n$。這些固有值是 $$E_n(\mathbf{B})=\kappa\hbar Bn，\tag{21}$$ 所以當 $\mathbf{B}=\mathbf{0}$ 時有 $(2s+1)$ 重簡併。（$s=\frac{1}{2}$ 的特殊情況會產生上一節考慮的二重簡併。）我們把 ＄$\mathbf{B}$ 的分量考慮為我們先前分析中的參數 $\mathbf{R}$，然後計算 $\hat{\mathbf{S}}$ 沿著 $\mathbf{B}$ 方、的固有態 $|n,s(\mathbf{B})\rangle$ 的相位改變 $\gamma_n(T)$

## 5 Aharonov-Bohm 效應
考慮單一一條磁通量為 $\Phi_B$ 的場線構成的磁場。對於不在場線（field line）上的位置 $\mathbf{x}$ 而言，磁場是零，但對於一條使場線從中穿過的環路 $C$ 而言，必有一個向量位（vector potential）$\mathbf{A}(\mathbf{x})$ 滿足 $$\oint_C\mathbf{A}(\mathbf{x'})\boldsymbol\cdot\text{d}\mathbf{x'}=\Phi_B\tag{30}$$ Aharonov 和 Bohm (1959) 證明，在量子力學中，即使這種向量位對應到的磁場是零，它們仍然具有物理意義。我現在要證明，他們的效應可以被詮釋為第二節所述之幾何相位變化的一種類型。

令量子系統由一個電荷為 $q$ 的粒子構成，此粒子被侷限一個箱子裡面，此箱子位於 $\mathbf{R}$ 處，且未遭場線穿透（圖 1）。在沒有磁向量位（$\mathbf{A}=\mathbf{0}$）的情況下，粒子的哈密頓函數由位置 $\hat{\mathbf{X}}$ 和共軛動量 $\hat{\mathbf{P}}$ 所決定，如下： $$\hat{H}=\hat{H}(\hat{\mathbf{P}},\hat{\mathbf{X}}-\mathbf{R})，\tag{31}$$ 而且波函數有著 $\psi_n(\mathbf{X}-\mathbf{R})$ 的形式，能量 $E_n$ 與 $\mathbf{R}$ 無關。當通量不為零時，固有態 $|n(\mathbf{R})\rangle$ 滿足 $$\hat{H}\left(\hat{\mathbf{P}}-q\mathbf{A}(\hat{\mathbf{X}}),\hat{\mathbf{X}}-\mathbf{R}\right)|n(\mathbf{R})\rangle=E_n|n(\mathbf{R})\rangle，\tag{32} b $$