# 4月20日 上課筆記
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## 第17章 習題
### 第59題
都普勒效應公式：$f'=f\dfrac{v\pm v_S}{v\pm v_D}$

題目給：
- 法國潛水艇速率 $v_\text{F}=50\text{ km/h}$
- 美國潛水艇速率 $v_\text{US}=70\text{ km/h}$
- 聲納訊號速率（水中聲速）$v=5470\text{ km/h}$
- 聲納頻率 $f=1.000\times 10^3\text{ Hz}$

(a) 聲源：法艦；接收者：美艦；
接近中，頻率上升，分母取負號，分子取正號
$f'=f\dfrac{v+v_\text{F}}{v- v_\text{US}}=(1000\text{ Hz})\dfrac{(5470+50)\text{ km/h}}{(5470-70)\text{ km/h}}=\boxed{1022\text{ Hz}}$
(b)
聲源：法艦（經美艦反射）；接收者：法艦；
接近中，頻率上升，分母取負號，分子取正號
相對於美艦而言，法艦是以 $120\text{ km/h}$ 衝向美艦（向右），而法艦的「像」是以 $120\text{ km/h}$ 追著美艦（向左）。但相對於介質（海水）而言，美艦是以 $70\text{ km/h}$ 向左，所以法艦的「像」是以 $190\text{ km/h}$（向左），把這個速率稱為$v_{\text{F}i}$。
$f'=f\dfrac{v+ v_{\text{F}i}}{v- v_\text{F}}=(1000\text{ Hz})\dfrac{(5470+190)\text{ km/h}}{(5470-50)\text{ km/h}}=\boxed{1044\text{ Hz}}$
答案：

### 第23題
(a) $\overline{S_2P}^2=\overline{S_1P}^2+\overline{S_2S_1}^2$ 或 $\overline{S_2P}=\sqrt{x^2+d^2}$
波程差
$\begin{align}\Delta L&=\overline{S_2P}-\overline{S_1P}=\sqrt{x^2+d^2}-x\\&=x\sqrt{1+d^2/x^2}-x=x(1+d^2/x^2)^{1/2}-x\\&=x\left(1+\dfrac{1}{2}\dfrac{d^2}{x^2}+\cdots\right)-x\\&=\dfrac{1}{2}\dfrac{d^2}{x^2}+\cdots\end{align}$
$\displaystyle\lim_{x\to\infty}\Delta L=\lim_{x\to\infty}\left(\dfrac{1}{2}\dfrac{d^2}{x^2}+\cdots\right)=0$
所以相位差 $\phi$（因為 $\Delta L/\lambda=\phi/2\pi$）。
(b) 完全建設性干涉。
(c\) 增加
(d) $\Delta L=\sqrt{x^2+d^2}-x=0.50\lambda$
$\sqrt{x^2+(16.0\text{ m})^2}-x=0.50(2.00\text{ m})$
$\implies x^2+256=1.00+2.00x+x^2$
$\implies x=255/2.00=\boxed{128\text{ m}}$
補充：相位差 $\phi=\pi$

(e)$\Delta L=\sqrt{x^2+d^2}-x=0.50\lambda$
$\sqrt{x^2+(16.0\text{ m})^2}-x=0.50(2.00\text{ m})$
$\implies x^2+256=4.00+4.00x+x^2$
$\implies x=252/4.00=\boxed{63.0\text{ m}}$
補充：相位差 $\phi=2\pi$

(f)$\Delta L=\sqrt{x^2+d^2}-x=1.50\lambda$
$\sqrt{x^2+(16.0\text{ m})^2}-x=1.50(2.00\text{ m})$
$\implies x^2+256=9.00+6.00x+x^2$
$\implies x=245/6.00=\boxed{40.8\text{ m}}$
補充：相位差 $\phi=3\pi$


### 第79題
波程差 $\Delta L=L_2-L_1=2\sqrt{\left(\dfrac{L}{2}\right)^2+d^2}-L$
聲源 $S$ 到接收器 $D$ 距離 $L=10.0\text{ m}$
聲波波長 $\lambda=0.850\text{ m}$

(a) 完全反相位（exactly out of phase）
$2\sqrt{\left(\dfrac{L}{2}\right)^2+d^2}-L=\dfrac{\lambda}{2}$
解 $d$：
$2\sqrt{\left(\dfrac{10.0\text{ m}}{2}\right)^2+d^2}-(10.0\text{ m})=\dfrac{(0.850\text{ m})}{2}$
$\implies d=\sqrt{[(0.850/2+10.0)/2]^2-5.00^2}=\boxed{1.47\text{ m}}$

(b) 完全同相位（exactly in phase）
$2\sqrt{\left(\dfrac{L}{2}\right)^2+d^2}-L=\lambda$
解 $d$：
$2\sqrt{\left(\dfrac{10.0\text{ m}}{2}\right)^2+d^2}-(10.0\text{ m})=0.850\text{ m}$
$\implies d=\sqrt{[(0.850+10.0)/2]^2-5.00^2}=\boxed{2.10\text{ m}}$

（順序顛倒）

### 第53題
拍頻（beat）出現的頻率 $\omega=f_2-f_1$
弦原本的基頻 $f_1=600\text{ Hz}$
弦轉緊後的基頻 $f_2=\omega+f_1=(6+600)\text{ Hz}=606\text{ Hz}$

假設：
- 弦原本的張力 $\tau_1$
- 弦轉緊後的張力 $\tau_2$
由於 $v=\sqrt{\dfrac{\tau}{\mu}}\propto f$（因為能出現駐波的波長是固定的，且 $v=f\lambda$。）
所以 $\sqrt{\dfrac{\tau_2}{\tau_1}}=\dfrac{f_2}{f_1}=\dfrac{606\text{ Hz}}{600\text{ Hz}}$
$\implies \dfrac{\tau_2}{\tau_1}=\left(\dfrac{606}{600}\right)^2=1.01^2=1.0201$，
也就是張力要增加約 $\frac{1.02-1.00}{1.00}\times 100\%=\boxed{2\%}$
答案：