# 2020年9月15日 萬有引力
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## 第一階段：隨機抽問
1. （簡答題）請敘述克卜勒行星運動定律。
2. （證明題）考慮克卜勒問題（平方反比連心力的二體問題），請證明同一行星在繞日軌道上任意兩點滿足以下關係：$$\frac{1}{2}r_1v_1\sin\theta_1=\frac{1}{2}r_2v_2\sin\theta_2，$$ 其中 $r=|\mathbf{r}|$ 是行星與太陽距離，$v=|\mathbf{v}|$ 是行星相對於太陽的速率，$\theta$ 是 $\mathbf{r}$、$\mathbf{v}$ 兩向量的夾角。並請說明 $\dfrac{1}{2}rv\sin\theta$ 的物理意義。
3. （計算題）已知火星繞日軌道的半長軸是 $1.523~\text{AU}$，則火星的繞日週期大約為幾年？會合週期大約為幾年？（假設行星之間的攝動不計）
4. （計算題）為了讓一艘太空船從地球軌道（下圖中的1）移動到火星軌道（下圖中的3），可採取橢圓形的**霍曼轉移軌道**（Hohmann transfer orbit，如下圖中的2），途中只需兩次發動機推進（圖中的 $\Delta v$ 及 $\Delta v'$），相對地節省燃料。令太陽質量為 $M$、地球軌道半徑是 $R$、火星軌道半徑是 $R'$，請計算出 $\Delta v$ 和 $\Delta v'$，不需要代數值。（假設地、火軌道均為圓形，且行星的局部重力場不計。）
5. （證明題）**拉格朗日點**（Lagrangian point）是指兩個大天體（例如太陽和地球）環繞運行，在空間中有五個位置可以放入第三個小物體（例如人造衛星，質量可忽略不計），使它與另兩個大天體的相對位置保持不變。如下圖，其中有個拉格朗日點叫做 $L_2$ 點，它在兩個大天體的連線上，而且在較小的天體（Mass 2）一側。請計算出 $L_2$ 離較大天體（Mass 1）的距離
6. （簡答題）什麼是彈性碰撞、非彈性碰撞、完全非彈性碰撞？它們各自可按照什麼守恆定律去計算？
7. （繪圖題）考慮一個包含彈簧和兩個木塊的系統發生彈性碰撞，下圖為碰撞前的某一瞬間。假設木塊1（block 1）和木塊2（block 2）的質量分別為 $m_1$、$m_2$，初速度分別為 $v_1$、$v_2$（$v_1>v_2$），末速度分別為 $v_1'$、$v_2'$，彈簧的彈性係數為 $k$，彈簧無質量，且過程中沒有任何摩擦力作用。請畫出木塊1、木塊2，還有系統總動能隨時間變化的圖示，並標示動能的值。
8. （證明題）考慮兩個質點的斜向彈性碰撞，一開始其中一個質點朝向靜止的另一個質點運動，請證明：若兩個質點質量相等，它們的末速度夾角為 $90^\circ$，反之亦然。
9. （證明題）證明在質心坐標系中，彈性碰撞會使兩質點的相對速度方向逆轉。

### 答題狀況
| 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
| --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- | --- |
| +2 | +1 | +2 | +2* | +2* | +2 | +1 | + | + |

## 第二階段：觀念統整
### 一、重力（gravitation）
1. 牛頓萬有引力定律
牛頓萬有引力定律（Newton's law of universal gravitation）指出，==任兩個質點沿著連心方向具有相互吸引的作用力，其大小與兩者質量的乘積成正比，而與兩者之間的距離平方成反比==，其數學表述是 $$\mathbf{F}=-\frac{Gm_1m_2}{r^2}\hat{\mathbf{r}}，\tag{1-1}$$ 其中 $m_1$、$m_2$ 分別是質點1和質點2的質量，$r\equiv|\mathbf{r}|$ 是質點1和質點2的距離，$\hat{\mathbf{r}}\equiv\dfrac{\mathbf{r}}{r}$ 是質點1和質點2的單位向量，$G$ 是重力常數（gravitational constant），其值約為 $6.674\times10^{-11}~\text{m}^3\cdot\text{kg}^{–1}\cdot\text{s}^{–2}$。

2. 疊加原理
3. 基於疊加原理，「球對稱且質量分布均勻」的物體也適用上面陳述的萬有引力定律。
- 空心球殼
- 實心球殼
4. 重力的一些導出物理量：（此處僅陳述而不證明）
- 質量為 $M$ 的質點在空間中產生的**重力場**為 $$\mathbf{g}=-\frac{GM}{r^2}\hat{\mathbf{r}}\tag{1-4}$$
- 承上，**重力位**為 $$\Phi_g=-\frac{GM}{r}\tag{1-5}$$
- 質量分別為 $M$、$m$ 且相距 $r$ 的雙質點系統，其**重力位能**為 $$U=-\frac{GMm}{r}。\tag{1-6}$$

### 二、行星運動
克卜勒行星運動定律
1. 太陽系的行星，各在以太陽為焦點的一個**橢圓軌道**上運行。
2. 太陽至任一行星的連線，在等長的時間內掃過的面積相等。
3. 以下關係對所有行星均成立：行星軌道半長軸的平方，正比於行星繞日週期的平方。

用牛頓的運動定律和萬有引力定律可完全推得這三個定律。

### 三、行星運動的能量
假設行星繞日軌道為圓形軌道，所以運行過程中 $r$ 與 $v$ 都保持不變。動能依定義是 $K=\frac{1}{2}mv^2$。利用 (2-?) 式可將 $mv^2$ 換成 $GMm/r$，所以動能的公式為 $$K=\frac{GMm}{2r}。\tag{3-1}$$
位能依定義是$$\Delta U=-\int_1^2 \mathbf{F}(\mathbf{r}')\boldsymbol{\cdot}\text{d}\mathbf{r}'，$$ 採取從無窮遠處沿著徑向延伸到 $\mathbf{r}$ 的路徑 $C$ 為直線，並以無窮遠處的位能為零位面，則 $$\require{cancel}\begin{align}\Delta U=U(\mathbf{r})-\cancelto{0}{U(\infty)}&=-\int_{\infty,C}^\mathbf{r} \mathbf{F}(\mathbf{r}')\boldsymbol{\cdot}\text{d}\mathbf{r}'=-\int^r_\infty F(r')\text{d}r'\\&=-\int^r_\infty\left(-\frac{GMm}{r'^2}\right)\text{d}r'=-\left[\frac{GMm}{r'}\right]^r_\infty\\&=-\frac{GMm}{r}，\end{align}$$ 所以位能的公式為 $$U=-\frac{GMm}{r}。\tag{3-2}$$
由 (3-1) 式、(3-2) 式可知，動能和位能在運行過程中保持不變。

最後，力學能就是把 (3-1) 式和 (3-2) 式相加，我們得到力學能守恆：$$E=-\frac{GMm}{2r}。\tag{3-3}$$

雖然上面的公式只適用圓形軌道，但若把 (3-3) 式的半徑 $r$ 換成半長軸 $a$，就對橢圓軌道適用了：$$E=-\frac{GMm}{2a}。\tag{3-4}$$注意在橢圓軌道的情況下，動能和位能雖不守恆，但它們的平均值還是分別滿足 (3-1) 式、(3-2) 式。

對於更一般性的軌道形式，力學能有一指標性的含義：
- $E<0$ 代表軌道是橢圓，
- $E=0$ 代表軌道是拋物線，
- $E>0$ 代表軌道是雙曲線。

### 四、碰撞
碰撞是動量守恆的一種應用，泛指兩物體在極短時間內的交互作用。由於作用時間極短，所以系統受合外力作用的程度極少，系統的總動量可視為守恆。

恢復係數 $$e=\frac{v_2'-v_1'}{v_2-v_1}$$

### 五、彈性碰撞
考慮兩個質點在一條直線上進行[彈性碰撞]()（因此恢復係數為1，或者說碰撞過程中動量守恆）。假設一質點的質量為$m_1$，碰撞前速度為 $v_1$，碰撞後速度為 $v_1'$，另一質點的質量為$m_2$，碰撞前速度為 $v_2$，碰撞後速度為 $v_2'$。

我們有動量守恆 $$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'，\tag{5-1}$$
和動能守恆 $$\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2=\dfrac{1}{2}m_1v_1'^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2'^2，\tag{5-2}$$
我們要證明碰撞之後的速度分別為
$\boxed{v_1'=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_2}，\tag{5-3a}$
和
$\boxed{v_2'=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2}，\tag{5-3b}$

#### 證明
首先把(5-1)式移項，變成 $$m_1(v_1-v_1')=m_2(v_2'-v_2)，\tag{5-4}$$
再把(5-2)式兩邊同乘以2，得到 $$m_1v_1^2+m_2v_2^2=m_1v_1'^2+m_2v_2'^2，$$然後移項，變成 $$m_1(v_1^2-v_1'^2)=m_2(v_2'^2-v_2^2)。$$又以平方和公式展開 $$m_1(v_1+v_1')(v_1-v_1')=m_2(v_2'+v_2)(v_2'-v_2)。\tag{5-5}$$

比對(5-4)式和(5-5)式，發現左右有共同因子，於是把(5-4)式和(5-5)式相除，得到 $$v_1+v_1'=v_2'+v_2。\tag{5-6}$$這是一個重要的結果，因為移項一下， $$v_1-v_2=-(v_1'-v_2')，$$就可看出：==一個質點相對另一個質點的速度，在碰撞後逆轉。==

由(5-1)式改寫成 $$\begin{align}v_1'&=\dfrac{1}{m_1}\left(m_1v_1+m_2v_2-m_2v_2'\right)\\&=v_1+\dfrac{m_2}{m_1}v_2-\dfrac{m_2}{m_1}v_2'，\end{align}$$使用(5-6)式代入上式，得到 $$\begin{align}v_1'&=v_1+\dfrac{m_2}{m_1}v_2-\dfrac{m_2}{m_1}(v_1+v_1'-v_2)\\ \implies\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right)v_1'&=\left(1-\dfrac{m_2}{m_1}\right)v_1+\dfrac{2m_2}{m_1}v_2\\ \implies v_1'&=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_2，\end{align}$$即(5-3a)式。

同理，可證得(5-3b)。也可將(5-3a)的下標1與2對調得到(5-3b)。

## 第三階段：解答課前提問
### Unit 5 試題精選5及6
> 如果題目沒有限定兩球大小相同的話會怎樣(也就是說，如果兩球大小不相同，答案會變嗎)

### Unit 5 試題精選12 附註討論(1)
> 請分別演示如何用內動能解題。

### 恢復係數
> 大概講解一下恢復係數(我沒把他弄到筆記裡但它看起來蠻有用的)

## 第一階段參考答案
1. 由於行星與太陽之間的力為連心力，無法對任何一方施予力矩，故角動量守恆。又由角動量定義（此處以太陽為參考點） $|\boldsymbol\ell|=|\mathbf{r}\boldsymbol\times\mathbf{p}|=rmv\sin\theta$，所以 $\dfrac{1}{2}rv\sin\theta=\dfrac{\ell}{2m}$ 在運行過程中不隨時間變化。
又 $\dfrac{1}{2}rv\sin\theta$ 的物理意義為面積速率（areal velocity），因在極短時間 $\Delta t$ 內，行星走了一小段位移 $\Delta\mathbf{r}=\mathbf{v}_\perp\Delta t$ ，這段期間內，行星與太陽連線掃出的面積可近似成半徑為 $r$、弧長為 $v\sin\theta\Delta t$ 的扇形，又可近似為三角形，所以面積為 $\frac{1}{2}rv\sin\theta\Delta t$，面積速率為 $\frac{1}{2}rv\sin\theta$。
2. 由克卜勒第三定律，對於同一行星系統內之任兩行星的半長軸 $a$ 與週期 $T$，有 $\dfrac{a^3}{T^2}=$常數，所以 $\dfrac{a_\text{Mars}^3}{T_\text{Mars}^2}=\dfrac{a_\text{Earth}^3}{T_\text{Earth}^2}$ $$\implies T_\text{Mars}=\sqrt{\dfrac{a_\text{Mars}^3}{a_\text{Earth}^3}T_\text{Earth}^2}=\sqrt{\left(\dfrac{1.523~\text{AU}}{1.000~\text{AU}}\right)^3\times(1.000~\text{yr})^2}=1.880~\text{yr}。$$
若兩行星週期為 $T_2<T_1$，則它們的會合週期（synodic period） $T_\text{syn}$ 滿足方程式 $$\frac{1}{T_\text{syn}}=\frac{1}{T_2}-\frac{1}{T_1}$$ 或 $$T_\text{syn}=\frac{T_1T_2}{T_1-T_2}$$ 按此計算，地球與火星的會合週期為 $2.136~\text{yr}$。
3. $\Delta v =\sqrt{\frac{GM}{R}}\left(\frac{2R'}{R+R'}-1\right)$
$\Delta v' =\sqrt{\frac{GM}{R'}}\left(1-\frac{2R'}{R+R'}\right)$
4. 滿足 $\frac{M_1}{(R+r)^2}+\frac{M_2}{r^2}=\left(\frac{M_1}{M_1+M_2}R+r\right)\frac{M_1+M_2}{R^3}$，$r$ 表示 $L_2$ 與較小天體之間的距離，$R$ 表示兩個大天體之間的距離，$M_1$ 和 $M_2$ 分別表示較大天體和較小天體的質量。