# 2020年9月8日 動量、衝量、功、能量
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## 第一階段：隨機抽問
1. （簡答題）什麼是質點系統的質心？若一系統有 $n$ 個質點，第 $i$ 個質點的質量為 $m_i$、位置為 $\mathbf{r}_i$、速度為 $\mathbf{v}_i$、加速度為 $\mathbf{a}_i$，請寫出質心位置 $\mathbf{r}_\text{com}$、質心速度 $\mathbf{v}_\text{com}$、質心加速度 $\mathbf{a}_\text{com}$ 的定義。
2. （證明題）證明系統所受到的合外力 $\mathbf{F}_{\text{ext}}$ 等於系統總質量 $M$ 乘以系統的質心加速度 $\mathbf{a}_\text{com}$。
3. （簡答題）請說明線動量守恆定理的內容（含前提與結論）。
4. （簡答題）什麼是衝量（impulse）？什麼是平均力（average force）？
5. （證明題）請證明衝量動量定理（impulse-momentum theorem）。
6. （簡答題）力學上，功（work）的定義是什麼？比較定力（constant force）和非定力下的差別。
7. （證明題）請證明功能定理（work-energy theorem）。
8. （簡答題、證明題）位能的定義是什麼？舉出位能一些常見的公式（至少三個），並證明那些公式。
9. （簡答題）考慮地表附近的理想斜拋運動，可自行假設需要的參數（例如初速率、發射仰角），請說明其過程中的能量變化（動能和位能都要）、各種力做的功，以及動量和衝量，可以用圖示說明，用數學式更好。
10. （簡答題、證明題）請說明什麼是力學能守恆定理（含前提與結論）？請證明之。

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## 第二階段：重點整理

### 一、質點系統
#### （一）定義
- **質點系統**（system of particles）是一個以上（含）的質點組成的系統。它可以是一個鬆散的集合，像是一堆石頭或一群氣體分子，也可以是連續的質量分布，例如一條弦。
- **剛體**（rigid body）是一種質點系統，質點間的相對距離被約束（constrained）以維持絕對固定（absolutely fixed）。高中只在討論剛體的靜力學（在靜力平衡的章節），不討論剛體的動力學（就算有，整個剛體也視為單一質點）。
- 質點的**線動量**（linear momentum）$\mathbf{p}$ 定義為「質量 $m$ 與速度 $\mathbf{v}$ 的乘積」，即 $\mathbf{p}=m\mathbf{v}$，這是一種操作型定義（operational definition）。
- 質點相對於參考點的**角動量**（angular momentum）$\boldsymbol\ell$ 定義為「徑向向量 $\mathbf{r}$ 與線動量 $\mathbf{p}$ 的叉積」，即 $\boldsymbol\ell=\mathbf{r}\boldsymbol\times\mathbf{p}$，這也是一種操作型定義。
#### （二）質心
**質心**（center of mass，縮寫 com 或 cm）字面上的意思是質點系統的質量中心。
- 質心位置向量定義為 $$\mathbf{r}_\text{com}\equiv\frac{\sum_im_i\mathbf{r}_i}{\sum_im_i}=\frac{m_1\mathbf{r}_1+m_2\mathbf{r}_2+\cdots+m_n\mathbf{r}_n}{m_1+m_2+\cdots+m_n}。$$
- 質心速度就是質心位置對時間的導數：$$\mathbf{v}_\text{com}\equiv\dot{\mathbf{r}}_\text{com}=\frac{\sum_im_i\dot{\mathbf{r}}_i}{\sum_im_i}。$$
- 質心加速度就是質心位置對時間的二次導數：$$\mathbf{a}_\text{com}\equiv\ddot{\mathbf{r}}_\text{com}=\frac{\sum_im_i\ddot{\mathbf{r}}_i}{\sum_im_i}。$$

上面的定義都是操作型定義。質心的物理意義必須在牛頓第二運動定律下才會呈現出來。
#### （三）牛頓第二運動定律
1. 作用在系統內一個質點上的力可以分為兩個部分：
- 來自系統外的力——外力
- 來自系統內所有其他質點的力——內力

2. 考慮一個 $n$ 質點系統。如果把系統中==第 $j$ 個質點對第 $i$ 個質點之間所施加的力==寫成 $\mathbf{F}_{ij}$，則所有施加在第 $i$ 個質點上的力就是 $$\mathbf{F}_i=\mathbf{F}_{i,\text{ext}}+\sum^n_{j=1\\j\neq i}\mathbf{F}_{ij}，\tag{1-1}$$ 其中 $\mathbf{F}_{i,\text{ext}}$ 是第 $i$ 個質點所受到的外力，還有後項的求和是其他 $n-1$ 個質點對第 $i$ 個質點所施加的內力 ，求和時跳過任何 $i=j$ 的項（無法對自己施力），

3. 現在對第 $i$ 個質點應用牛頓第二運動定律：$$\mathbf{F}_i=m_i\frac{\text{d}^2\mathbf{r}_i}{\text{d}t^2}=\frac{\text{d}\mathbf{p}_i}{\text{d}t}，\tag{1-2}$$ 或合併 (1-1)、(1-2) 式，得到$$\mathbf{F}_{i,\text{ext}}+\sum^n_{j=1\\j\neq i}\mathbf{F}_{ij}=m_i\frac{\text{d}^2\mathbf{r}_i}{\text{d}t^2}=\frac{\text{d}\mathbf{p}_i}{\text{d}t}。\tag{1-3}$$
4. 把 (1-3) 式對 $i$ 求和（從 $1$ 到 $n$），就是 $$\sum^n_{i=1}\mathbf{F}_{i,\text{ext}}+\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1\\j\neq i}\mathbf{F}_{ij}=\sum^n_{i=1}m_i\frac{\text{d}^2\mathbf{r}_i}{\text{d}t^2}=\sum^n_{i=1}\frac{\text{d}\mathbf{p}_i}{\text{d}t}，$$ 先依照質心加速度 $\mathbf{a}_\text{com}$ 和系統總線動量 $\mathbf{P}$ 的定義（$\mathbf{P}\equiv\sum_i\mathbf{p}_i$），寫成 $$\sum^n_{i=1}\mathbf{F}_{i,\text{ext}}+\sum^n_{i=1}\sum^n_{j=1\\j\neq i}\mathbf{F}_{ij}=M\mathbf{a}_\text{com}=\frac{\text{d}\mathbf{P}}{\text{d}t}，\tag{1-4}$$ 再來處理前面兩項求和。首先，各質點所受外力之總和（ (1-4) 式第一項求和）我們稱為**合外力**（net external force），記作 $\mathbf{F}_\text{ext}$；再來，依照（弱版本的）牛頓第三運動定律，我們知道對任兩個相異 $i$、$j$，有 $$\mathbf{F}_{ij}=-\mathbf{F}_{ji}，\tag{1-5}$$ 所以 (1-4) 式第二項求和就等於零。於是 (1-4) 式可進一步寫成 $$\mathbf{F}_\text{ext}=M\mathbf{a}_\text{com}=\frac{\text{d}\mathbf{P}}{\text{d}t}。\tag{1-6}$$ 換句話說，==整個質點系統的移動就好像一個（想像中的）質點在移動，這個質點就是**質心**（center of mass）==，而且
- 系統總質量 $M$ 視為質心的質量，
- 系統總線動量 $\mathbf{P}$ 視為質心線動量，
- $\mathbf{P}$ 滿足 (1-6)式的定律，只與合外力有關，與任一內力的性質無關，

以上這就是「質點系統移動版本」的牛頓第二運動定律。
5. (1-6)式還有一個重要推論，就是==若質點系統所受合外力為零，系統總線動量不隨時間而變化，或稱總線動量守恆（conserve），這就是**線動量守恆定理（theorem of conservation of linear momentum）**==。
#### （四）轉動版本的牛頓第二運動定律（補充）
1. 質點系統也可以定義總角動量，但是並非各質點的角動量的向量和，這是因為角動量和參考點有關，通常參考點設為質心會比較方便，這就產生了**質心坐標系**（COM coordinate system）的概念。質心坐標系（帶撇號的向量）中的位置可定義成 $$\mathbf{x}'\equiv\mathbf{x}-\mathbf{r}_\text{com}，$$ 這裡 $\mathbf{x}$ 是某一點在原本坐標系中（相對於原點）的位置，$\mathbf{x}'$ 是該點在原本坐標系中相對於質心的位置，也是該點在質心坐標系中（相對於原點）的位置。

2. 由於計算較繁複，這裡僅陳述結果：質點系統的總角動量為$$\mathbf{L}=\mathbf{r}_\text{com}\boldsymbol\times\mathbf{P}+\sum^{n}_{i=1}\mathbf{r}'_i\boldsymbol\times\mathbf{p}'_i，\tag{1-7}$$ 用文字描述的話，第一項就是質心相對於原點的角動量，第二項就是各質點相對於質心的角動量之和。
3. 系統的總角動量 $\mathbf{L}$ 和系統的**合外力矩**（net external torque） $\boldsymbol\tau_\text{ext}$ 之間，也存在類似於 (1-6) 式的那種關係，這裡僅陳述結果：$$\boldsymbol\tau_\text{ext}=\frac{\text{d}\mathbf{L}}{\text{d}t}。\tag{1-8}$$ 換句話說，==整個質點系統繞著一根已知軸的轉動就好像一個（想像中的）質點繞著那根軸在轉動，這個質點依然還是質心==，而且
- 系統總質量 $M$ 視為質心的質量，
- 系統總角動量 $\mathbf{L}$ 視為質心角動量，
- $\mathbf{L}$ 滿足 (1-7)式之定義，也滿足 (1-8)式之定律，只與合外力矩有關，與任一內力矩的性質無關，

以上這就是「質點系統轉動版本」的牛頓第二運動定律。
5. (1-8)式還有兩個重要推論，第一個就是==若質點系統所受合外力矩為零，則系統總角動量不隨時間而變化，或稱總角動量守恆，這就是**角動量守恆定理**（theorem of conservation of angular momentum）==。

### 二、功與能量

## 第三階段：解答課前提問

### 下冊 p.510