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title: 2020年9月1日 近代物理（下）
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# 2020年9月1日 近代物理（下）
###### tags: `高中物理`

## 第一階段：隨機抽問
1. （簡答題）請說明拉塞福散射實驗的內容、結果，以及拉塞福提出的原子模型，與模型的缺陷。
2. （簡答題）請說明波耳氫原子模型的兩大基本假設。
3. （證明題）承上題，請根據以上假設，證明氫原子的電子軌道半徑是 $$r=\dfrac{n^2h^2}{4\pi^2 mke^2},\quad n=1,2,3,\ldots$$
4. （證明題）承上題，請證明氫原子能階是由下面公式所給出：$$E=-\dfrac{2\pi^2 mk^2e^4}{n^2h^2},\quad n=1,2,3,\ldots。$$
5. （證明題）承上題，請證明氫原子的芮得柏常數 $R_H$ 可以表示成 $$R_H=\frac{2\pi^2mk^2e^4}{ch^3}$$

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## 第二階段：

### 一、布朗運動（Brownian motion）
- 1827年，英國植物學家羅伯特·布朗（Robert Brown）利用一般的顯微鏡觀察「懸浮於水中、由花粉所迸裂出之微粒」時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。（摘自[維基百科](https://reurl.cc/j5gvEp)）
    ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/c/c2/Brownian_motion_large.gif)
- 1905年，愛因斯坦提出布朗運動的模型，並寫出擴散方程式。
- 布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子越大，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為 $10^{-8}~\text{cm}$。知道原子的大小又可以推算亞佛加厥常數。（摘自[維基百科](https://reurl.cc/j5gvEp)）

### 二、拉塞福原子模型
- 主要科學家：拉塞福（Ernest Rutherford）
- 實驗名稱：拉塞福散射實驗
- 時間：1911年
- 成果
    - 發現： 
- 裝置
    ![](https://i.imgur.com/FiVC2ty.png =250x)
    - 鉛座內 $\alpha$ 粒子放射源（鐳）
    - 金箔（厚度僅 1 μm）
- 原理
    - $\alpha$ 粒子與金原子內部的正、負電荷有靜電力作用，路徑產生偏移（此過程稱**散射**）
    - $\alpha$ 粒子產生散射角 $\phi$，撞擊在螢光幕，產生螢光
    - 把撞擊次數對 $\phi$ 的關係畫出來
    ![](https://i.imgur.com/KruHuf5.png =250x)
- 問題
    - 依照實驗結果，湯姆森的原子模型出了什麼問題？ 
- 解釋：拉塞福原子模型（行星模型）
    - 原子核：1個，電荷量 $+Ze$
    - 電子：$Z$ 個，電荷量 $-e$，像行星一樣繞轉原子核
         ![](https://i.imgur.com/n2JQKxx.png =250x)![](https://i.imgur.com/G1LLkgL.png =300x)
    - 缺陷：
        - 原子的穩定性：電子會墜落到原子核並放出電磁波，但並沒有
        - 光譜：放出的電磁波應呈現連續光譜，但實際測得不連續光譜

### 三、波耳氫原子模型
#### 1. 光譜
- 17世紀，牛頓用三稜鏡觀察到色散。
- 19世紀
    - 夫朗和斐（Joseph von Fraunhofer）設計光譜儀，可分析譜線的波長。
    - 克希荷夫（Gustav Kirchhoff）發現每種元素的氣態都有特定光譜。
- 分類：
    - 連續光譜
    - 發射光譜（線狀光譜、明線光譜）
    - 吸收光譜（暗線光譜）：
![](https://www.researchgate.net/profile/Brendan_Mclaughlin/publication/230569765/figure/fig2/AS:393314911178775@1470784990797/Continuous-spectrum-and-two-types-of-line-spectra.png =400x)
#### 2. [氫原子光譜](https://reurl.cc/0Ox1kA)
![](https://www.thoughtco.com/thmb/NVjmylJ-zJrzTQRdUcl4tZlK6ag=/768x0/filters:no_upscale():max_bytes(150000):strip_icc():format(webp)/GettyImages-1096547948-35b3799817ca4b2fa06888893ef4a348.jpg =400x)
上圖分別為連續光譜、氫的發射光譜、氫的吸收光譜在可見光範圍內的示意圖。
- 可見光區有
    - H-α：6562.8 Å
    - H-β：4860.7 Å
    - H-γ：4340.1 Å
    - H-δ：4101.2 Å
- 1885年，巴耳末（Johann Jakob Balmer）導出經驗公式$$\lambda=\dfrac{n^2}{n^2-2^2}\lambda_0,\quad n=3,4,5,\ldots，\tag{3.1}$$其中 $\lambda_0=364.56\text{ nm}$。$n=3$ 時，就是H-α，$n=4$ 時就是H-β，以此類推。後來氫原子可見光區的譜線系列稱為巴耳末系。
![](https://i.imgur.com/Yt5JUp3.png =450x)
- 1890年，芮得柏（Johannes Rydberg）改寫巴耳末公式為$$\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{2^2}-\dfrac{1}{n^2}\right),\quad n=3,4,5,\ldots，\tag{3.2}$$其中 $R_H=1.908\times 10^{-7}~\text{m}^{-1}$，稱為氫原子的**芮得柏常數**。
- 1908年，瑞茲（Walther Ritz）推廣為$$\dfrac{1}{\lambda}=R_H\left(\dfrac{1}{m^2}-\dfrac{1}{n^2}\right),\quad m,n\in\mathbb{N}\ 且\ n>m，\tag{3.3}$$ 這就是[芮得柏－瑞茲組合原理](https://en.wikipedia.org/wiki/Rydberg%E2%80%93Ritz_combination_principle)（Rydberg–Ritz combination principle）。至此科學家已經能用一條經驗公式來描述所有原子的發射光譜。其他原子也能適用(3.3)式，但是芮得柏常數 $R$ 的值不同，都需要透過實驗測量。

#### 3. 波耳氫原子模型
- 主要科學家：波耳
- 時間：1913年
- 實驗名稱：無（但是基於拉塞福原子模型和氫原子光譜）
- 假設
    1. ==定態假設==：電子僅被允許在某些特定的軌道上做圓周運動，這些軌道稱為**定態**，能量為定值。且電子在穩定態的角動量等於 $h/2\pi$ 的整數倍，即$$L=rmv=n\hbar=\frac{nh}{2\pi},\quad n=1,2,3\ldots，\tag{3.4}$$其中 $r$ 為軌道半徑，$m$ 為電子質量，$v$ 為軌道速率，$h$ 為普朗克常數，$\hbar=h/2\pi$ 為約化普朗克常數（因為 $h/2\pi$ 這個常數在近代物理很常用，所以制定 $\hbar$ 這個符號），$n$ 稱為量子數。由於角動量的允許值（allowed values）被(3.4)式所限定而不呈連續分布，所以我們稱角動量是量子化的（quantized）。
    2. ==躍遷假設==：電子可以從較高能量 $E_i$ 的軌道，轉移到低能量 $E_f$ 的軌道，釋放出一個光子，這個過程稱為**躍遷**（transition）。釋出光子之能量等於兩軌道的能量差，即$$h\nu=E_i-E_f，\tag{3.5}$$其中 $\nu$ 為光子的頻率。
    3. 其他假設：原子核質量遠大於 $m$
- 推導（以下推導的對象是類氫原子，差別只在於原子核的電量是 $+Ze$。）
    ![](https://i.imgur.com/2d7Cphe.png =250x)
    1. 電子的向心力由庫侖力提供$$m\dfrac{v^2}{r}=\dfrac{kZe^2}{r^2}。\tag{3.6}$$
    2. 由假設1，$rmv=nh/2\pi$，得到$$v=\dfrac{nh}{2\pi rm}。\tag{3.7}$$
    3. 將(3.7)式帶入(3.6)式，$$\require{cancel}\dfrac{\bcancel{m}}{r}\dfrac{n^2h^2}{4\pi ^2\cancel{r^2}m^\bcancel{2}}=\dfrac{kZe^2}{\cancel{r^2}}，$$解 $r$ 得到$$\boxed{r=\dfrac{n^2h^2}{4\pi^2 mkZe^2}},\quad n=1,2,3,\ldots。\tag{3.8}$$
    4. 系統的力學能為$$E=-\dfrac{kZe^2}{2r}，$$代入(3)式到上式，得到$$\boxed{E=-\dfrac{2\pi^2 mk^2Z^2e^4}{h^2}\left(\dfrac{1}{n^2}\right)},\quad n=1,2,3,\ldots。\tag{3.9}$$
    5. 將已知的常數代入(4)式
        - $m=9.31\times 10^{-31}~\text{kg}$
        - $e=1.602\times 10^{-19}~\text{C}$ 
        - $k=8.99\times 10^{-9}~\text{N}\cdot\text{m}^2\cdot\text{m}^{-2}$
        - $h=6.626\times 10^{-34}~\text{J}\cdot\text{s}$
        得到$$r_n=\dfrac{0.0529}{Z}n^2 \text{ (nm)}，\tag{3.10}$$ 以及 $$E_n=-\dfrac{13.6Z^2}{n^2} \text{ (eV)}。\tag{3.11}$$
    6. 對於氫原子來說，$Z=0$，有兩個數值值得記憶：
        1. $r_1=0.0529~\text{nm}=0.529~Å$ 這個值稱為[波耳半徑](https://reurl.cc/Z7jyQ3)（Bohr radius），常記作 $a_0$ 或 $r_\text{Bohr}$，用基本常數表示就是 $$a_0=\dfrac{h^2}{4\pi^2kme^2}=0.0529~\text{nm}；\tag{3.12}$$ 
        2.  $E_1=-13.6~\text{eV}=2.18\times10^{-18}~\text{J}=1312~\text{kJ/mol}$ 稱為氫原子的基態能量，用基本常數表示就是 $$E_1=-\dfrac{2\pi^2mk^2e^4}{h^2}=-13.6~\text{eV}。\tag{3.13}$$

4. 波耳氫原子模型的驗證
    1. [法蘭克－赫茲實驗](https://reurl.cc/9XZ3la)（Franck-Herz experiment）（補充）
        - 裝置
            ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/74/Franck_Hertz_experiment.png =400x)
        - 結果（橫軸：加速電壓；縱軸：抵達陽極的電流）
            ![](https://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/f/f1/Franck-Hertz_en.svg =400x)
        - 意義：==證實汞原子的能階是離散的==。
    
    2. [斯特恩－革拉赫實驗](https://reurl.cc/4m3XYY)（Stern–Gerlach experiment）（補充）

5. 修正：
    1. 福勒（Alfred Fowler）用原子核和電子的約化質量。
    2. 索末菲模型：1916年，索末菲（Arnold Sommerfeld）在波耳模型的基礎上將圓軌道推廣為橢圓形軌道。

### 四、粒子物理與標準模型（standard models）
#### 1. 基本力（fundamental interaction）
#### 2. 基本粒子（elementary particles）
![](https://reurl.cc/14o0zp)

### 五、核物理

### 六、凝態物理（condensed metter physics）
http://www.phys.nthu.edu.tw/seminar/pre-phys/Intro_CMP.pdf

### 七、相對論

## 第三階段：解答課前提問
### p.440 試題精選6
> 答案是否應為ABE才對。

對。
### p.441 試題精選7
> α粒子的速率是如何求出的？

如果你問的是「速率為何是 $1.6\times10^7~\text{m/s}$」，我查到一些資料：
> Alpha particles are relatively slow and heavy compared with other forms of nuclear radiation. The particles travel at 5 to 7 % of the speed of light or 20,000,000 metres per second and has a mass approximately equivalent to 4 protons. (https://reurl.cc/VX5Rky)

> Due to the mechanism of their production in standard alpha radioactive decay, alpha particles generally have a kinetic energy of about 5 MeV, and a velocity in the vicinity of 5% the speed of light. (See discussion below for the limits of these figures in alpha decay.)(https://en.wikipedia.org/wiki/Alpha_particle)

因為我們已經有辦法用量子力學解釋放射性α衰變的機制，所以能計算出α粒子的速率。

![](https://i.imgur.com/Tlsv8Gk.png)
photo credit: [Lecture notes, Chapter 3, Nuclear Engineering](https://ocw.mit.edu/courses/nuclear-engineering/22-02-introduction-to-applied-nuclear-physics-spring-2012/lecture-notes/MIT22_02S12_lec_ch3.pdf) - MIT OpenCourseWare

如果你問的是「測量速率的方式」，因為α粒子的荷質比是已知的常數（$=2e/4\text{u}$），可以用質譜儀（mass spectrometer）測量半徑以推算速率。

### p.460 試題精選13（+14、18）
> (E)選項:為何Kepler's laws在此適用？

克卜勒定律是觀察行星運動而歸納出的經驗定律，後來由牛頓力學獲得理論支持，基本上，==滿足特定假設的力學問題都可以叫做「[**克卜勒問題**](https://reurl.cc/v1gk6e)（Kepler problem）」，結果都會符合克卜勒定律==。克卜勒問題這個名稱是後世為了表彰他的貢獻所命名的。

從牛頓萬有引力定律可知，非相對論性的（non-relativistic）重力至少有這兩種性質：
- A. 重力是連心力（central force）。
- B. 重力滿足平方反比定律（inverse-square law）。

克卜勒的三個定律都可經由牛頓萬有引力定律推導出來：
1. 第一定律「軌道律」可由A、B推得。
2. 第二定律「面積律」可由A推得。
3. 第三定律「週期律」可由A、B推得。

綜上所述，只要兩個質點之間力的形式符合性質A、B，亦即 $$\mathbf{F}=\frac{k}{r^2}\hat{\mathbf{r}}，$$ 而且 $k$ 是常數，$\hat{\mathbf{r}}$ 是徑向單位向量，那麼就屬於克卜勒問題，其運動學也可用克卜勒定律描述。例如波耳氫原子模型中採用的庫侖靜電力，就是這種克卜勒問題。

### p.504 試題精選8
> 解釋何謂蛻變機率。

1. 核物理中，**衰變機率**（decay rate），又稱**衰變常數**（decay constant），常用符號 $\lambda$ 表示，是指單位時間內放射性核種進行衰變的機率。用數學式表示就是 $$\frac{衰變機率}{單位時間}=\frac{\text{d}N/N}{\text{d}t}=-\lambda，\tag{1}$$ 或者可改寫成一階微分方程式 $$\frac{\text{d}N}{\text{d}t}=-\lambda N。\tag{2}$$ 因為核種數量會減少（$\text{d}N<0$），但我們希望 $\lambda>0$，所以在 $\lambda$ 前面加上負號。衰變機率的單位是時間的倒數。

    方程式(2)的解為（這相當於化學的一級反應，解法在化學有講過） $$N(t)=N_0e^{-\lambda t}，\quad N_0\equiv N(0)。\tag{3}$$ 可看出 $\lambda$ 是標示核種數量如何隨著指數衰減的重要參數，$\lambda$ 越大，單位時間內衰變的機率越大，代表數量衰減得越快。
    
2. 衰變機率的倒數稱為**平均壽命**（mean lifetime，或簡稱 lifetime），常用符號 $\tau$ 表示。所以(3)式也寫成$$N(t)=N_0e^{-t/\tau}，\quad N_0\equiv N(0)。\tag{4}$$ $\tau$ 越大，$\lambda$ 就越小，亦即單位時間內衰變的機率越小，代表核種平均而言「活得」比較久。

3. 另一個更直觀的概念是**半生期**或**半衰期**（half-life），就是讓核種數量減少為初始值一半所需的時間。張鎮麟講義說「半生期是蛻變機率為 $\frac{1}{2}$ 之經過時間」，這文字敘述值得商榷，畢竟衰變機率是常數，不是說等一段時間就會變成 $\frac{1}{2}$。為了求得半生期 $t_{1/2}$ 與衰變機率 $\lambda$ 或平均壽命 $\tau$ 的關係，我們按照定義可求解 $N(t_{1/2})=\frac{1}{2}N_0$，也就是（代入(3)式） $$\frac{1}{2}N_0=N_0e^{-\lambda t_{1/2}}，$$ 得 $$t_{1/2}=\frac{\ln{2}}{\lambda}\cong \frac{0.693}{\lambda}\tag{5}$$ 或 $$t_{1/2}=\tau \ln{2}\cong0.693\tau\tag{6}$$ 一旦有了像(6)這種關係式，就可以得到張鎮麟講義上的公式 $$N(t)=N_0\left(\frac{1}{2}\right)^{t/t_{1/2}}，\tag{7}$$ 請自行推導（提示：用對數的換底公式）。

## 科普文章選讀
1. [Joseph D. Martin著，朱家誼譯（2019）。〈凝態物理變王道〉，《物理雙月刊》](https://pb.ps-taiwan.org/catalog/ins.php?index_m1_id=5&index_id=439)
2. [邁克生—莫利實驗](https://www.cup.com.hk/2016/12/19/michelson-morley-experiment/)
3. [勞倫茲變換](http://ocw.aca.ntu.edu.tw/ocw_files/100S222/100S222_CS04L01.pdf)
