# 2021年4月4日上課
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## 中模指考108-2-2 化學
### 第3題
依溶度積定義列式：$$\require{mhchem}K_\ce{sp}=[\ce{Pb^2+}][\ce{Cl-}]^2。$$ 若 $\ce{Pb^2+}$ 的百萬分點濃度達排放標準 $4.14~\text{ppm}$，也就是每公升溶液中含 $4.14~\text{mg}$ 的 $\ce{Pb^2+}$ ，則其體積莫耳濃度為 $$[\ce{Pb^2+}]=\frac{\frac{4.14\times10^{-3}~\text{g}}{207~\text{g/mol}}}{1.00~\text{L}}=2.00\times10^{-5}~\text{M}。$$ 假設在每公升溶液中加入質量為 $x$ 公克的 $\ce{NaCl}$，因為 $\ce{NaCl}$ 解離出的 $\ce{Cl-}$ 遠多於 $\ce{PbCl2}$ （是難溶鹽）解離出的 $\ce{Cl-}$，所以 $\ce{Cl-}$ 的體積莫耳濃度為$$[\ce{Cl-}] = \frac{\frac{x~\text{g}}{58.5~\text{g/mol}}}{1.00~\text{L}}=\frac{x}{58.5}~\text{M}。$$ 解 $$\left(2.00\times10^{-5}\right)\left(\frac{x}{58.5}\right)^2=8.0\times 10^{-5}$$ 得 $x=117$。
### 第6題
假設 $\ce{SO2}$ 和 $\ce{SO3}$ 的濃度分別為 $n_{\ce{SO2}}$、$n_{\ce{SO3}}$，則可列式$$\left\{\begin{array}{l}n_{\ce{SO3}}\times1+n_{\ce{SO3}}\times1=(0.1~\text{M})\times(0.1~\text{L})\times1\\n_{\ce{SO3}}\times(120~\text{g/mol})+n_{\ce{SO3}}\times(136~\text{g/mol})=0.616~\text{g}\end{array}\right.$$ 可解得 $n_{\ce{SO2}}=0.004~\text{mol}$、$n_{\ce{SO3}}=0.001~\text{mol}$。依亞佛加厥定律，理想氣體體積比等於莫耳數比，故 $$V_{\ce{SO2}}:V_{\ce{SO3}}=n_{\ce{SO2}}:n_{\ce{SO3}}=4:1。$$
### 第7題
假想一狀態是 $\ce{A}$ 先完全反應變成 $\ce{B}$，而 $B$ 不反應變成 $\ce{C}$，使 $\ce{B}$ 的濃度為 $(a+b)$，其餘濃度為 $0$。然後再考慮 $\ce{B}$、$\ce{C}$ 之間的化學平衡。假設平衡時 $\ce{B}$ 向右反應使 $\ce{C}$ 的濃度增為 $x$，則 $$\begin{aligned}&K_\ce{c}=\frac{k_2}{k_3}=\frac{0.5\times10^{-4}~\text{s}^{-1}}{1.0\times10^{-4}~\text{s}^{-1}}=2.0\quad 且 \quad K_\ce{c} = \frac{[\ce{C}]}{\ce{[B]}}=\frac{x}{(a+b-x)}\\\implies& 2(a+b)=3x\\\implies& x=\frac{2}{3}(a+b)\end{aligned}$$
### 第9題
$K_a=\dfrac{[\ce{H+}][\ce{CH3COO-}]}{[\ce{CH3COOH}]}=\dfrac{[\ce{H+}](0.02/0.5)}{0.010}$
### 第22題
$\begin{array}{ccccccc}&m\ce{A}^{n+}\ce{(aq)}&+&n\ce{B}^{m-}\ce{(aq)}&\ce{<=>}&\ce{A}_m\ce{B}_n\ce{(s)}\tag{1}\\\texttt{I}&4.0&&2.0&&0.0\\\texttt{C}&-1.9m&&-1.9n&&+1.9\\\hline\texttt{E}&4.0-1.9m&&2.0-1.9n&&1.9& (單位：\ce{mmol})\end{array}$

沉澱量最大時（$P$ 點）代表兩種離子完全反應時，此時兩種離子消耗的莫耳數比 $2:1$（體積乘以濃度），等於反應式 (1) 的係數比為 $m:n=2:1$，屬於 $2:1$ 型離子化合物。但此沉澱物不可能是 $\ce{Ag2O}$，因為 $\ce{Ag2O}$ 的溶解平衡為 $$\ce{Ag2O + H2O <=> AgOH <=> Ag+ + OH-}$$
由 (1) 式和已知的 $m:n$，可寫出 $\ce{A}_m\ce{B}_n$ 的溶度積常數為 $$\begin{aligned}K_\ce{sp}&=[\ce{A}^{n+}]^m[\ce{B}^{m-}]^n\\&=\left(\frac{4.0~\text{mmol}-3.8~\text{mmol}}{50~\text{mL}}\right)^2\left(\frac{2.0~\text{mmol}-1.9~\text{mmol}}{50~\text{mL}}\right)\\&=(0.004~\text{M})^2(0.002~\text{M})=3.2\times 10^{-8}~\text{M}^3\end{aligned}$$
用 $K_\ce{sp}=4s^3$ 可解溶解度 $s=\left(\dfrac{3.2\times 10^{-8}~\text{M}^3}{4}\right)^{1/3}=2.0\times10^{-3}~\text{M}$。

## 中模指考108-2-2 物理
### 第1題
答案：(C\)
等加速度運動的位移vs.時間關係 $\left\{\begin{array}{l}y_1(t)=v_0t-\frac{1}{2}gt^2\\y_2(t)=-v_0t-\frac{1}{2}gt^2\end{array}\right.$（令向上為$+y$方向）
進一步問：兩球任一時刻的距離為何？就是求$|\Delta y(t)|\equiv |y_1(t)-y_2(t)|$。
更進一步問：假設其中一顆球落地後反彈（彈性／非彈性碰撞）後，兩球任一時刻的距離為何？數學上來說，$y_2$和 $\Delta y$ 都會變成分段函數。
### 第9題
答案：(A)
牛頓第二運動定律
$\dfrac{\text{d} (fg)}{\text{d} t}=f\dfrac{\text{d} g}{\text{d} t}+g\dfrac{\text{d} f}{\text{d} t}$（導數的積法則）
$\mathbf{F}=\dfrac{\text{d} \mathbf{p}}{\text{d} t} =\dfrac{\text{d} (m\mathbf{v})}{\text{d} t}= m\dfrac{\text{d} \mathbf{v}}{\text{d}t} + \mathbf{v}\dfrac{\text{d} m}{\text{d} t} =$ 質量 $\times$ 加速度向量 $+$ 速度向量 $\times$ 質量變化率
代入值，$\mathbf{F}=(2~\text{kg})(-10\mathbf{j}~\text{m/s}^2) +
(20\mathbf{i}~\text{m/s})(0.2~\text{kg/s})$（加速度向下，速度假設為水平）
量值為 $F=|\mathbf{F}|=\sqrt{(20~\text{N})^2+(4~\text{N})^2}=4\sqrt{26}~\text{N}$
欲使滅火器靜止，人對滅火器施的力為 $-\mathbf{F}$。
進一步問：本題解的是「開始噴射瞬間」的力（$t=0$），可否解出「全程」的力（任意 $t$）？
### 第10題
答案：(B)
有兩個單擺：$L_1$-$m_1$ 單擺、$L_2$-$m_2$ 單擺
三個過程：
- $L_1$-$m_1$ 單擺盪下來
- $m_1$、$m_2$ 彈性碰撞
- $L_1$-$m_1$ 單擺、$L_2$-$m_2$ 單擺各自盪到最高點
問：能計算上升或下降時間嗎？

### 第13題
答案：(A)
力學能守恆給出 $m_1gL_1+m_2gL_2=\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2$
角速率固定給出 $\dfrac{v_1}{L_1}=\dfrac{v_2}{L_2}$
$L_1$、$L_2$已給定，故上兩式可解出 $v_1$、$v_2$ 其中之一。
### 第14題
答案：(B)
滑到底部時的速度為何？（用力學能守恆）
彈性碰撞後速度為何？（用動量守恆）
可上升的最大高度？（用力學能守恆、等加速度運動）
進一步問：假如斜面非固定？假如碰撞非彈性？

### 第18題
除了「平面鏡的物距 $=$ 像距」，其餘為純數學題！

### 第19題
$\frac{1}{M}+\frac{1}{m}=\frac{2Mm}{M+m}$
進一步問：假設可以從實驗中觀察質子和電子的運動（例如位置隨時間的關係），能得知質量比 $m/M$ 嗎？

### 第21題***
23. (A)(C\)

### 非選二

## 選修物理上 靜電學 題目卷

## 選修物理下 靜電學、電流磁效應、電磁感應

[選修物理下 第6、7、8、9章（電磁學）總複習填空](https://hackmd.io/@ulynx/S1BRHsbdI)
[選修物理下 第6、7、8、9章（電磁學）總複習](https://hackmd.io/@ulynx/rJRudFJwI)
[2020年6月24日 常錯題型整理](https://hackmd.io/@ulynx/AST0624)
### 靜電學
四大物理量——力 $\mathbf{F}$、場 $\mathbf{E}$、位能 $U$、位 $V$

#### A 均勻場情形

| 靜電力 $F$ | $F=qE$ | 靜電場 $E$ |
|:----------:| --- | --- |
| $\Delta U=Fd$ | | $\Delta V=Ed$ |
| **靜電位能** $U$ | $U=qV$ | **靜電位** $V$ |

* $d$ 為沿著場方向上的位移。
* $q$ 為處於外加均勻場中的試驗電荷。
* $F$、$E$ 是時間、空間中的常數。
* $U$、$V$ 是位置的函數，須取零位面。

#### B 點電荷情形
| 靜電力 $F=\dfrac{kQq}{r^2}$ | $F=qE$ | 靜電場 $E=\dfrac{kQ}{r^2}$ |
|:----------:| --- | --- |
| $U=-\int^r_{\infty} F(r)\text{d}r$ | | $V=-\int^r_{\infty} E(r)\text{d}r$ |
| **靜電位能** $U=\dfrac{kQq}{r}$ | $U=qV$ | **靜電位** $V=\dfrac{kQ}{r}$ |
* $Q$ 為點電荷，$q$ 為處於其力場中的試驗電荷，兩者的距離為 $r$。
* $F$、$E$、$U$、$V$ 均是是 ＝$r$ 的函數。
* 通常取無窮遠處為零位面。

#### 應用：陰極射線管
測量荷質比$$\dfrac{e}{m}=\dfrac{yv^2}{E\ell\left(\dfrac{\ell}{2}+D\right)}$$

### 勞倫茲力
描述電荷在電磁場中的受力
### 電流磁效應（電生磁）
- 必歐－沙伐定律（描述載流導線產生磁場）
- 必沙 $+$ 勞倫茲力 $\to$ 安培力定律（描述載流導線在磁場中的受力）
- 安培環路定律（描述磁場環量與電流的關係，可推算各種形狀載流導線產生的磁場）
- 載流長直導線
- 載流圓形線圈
- 圓心
- 中心軸上
- 兩個平行排列：亥姆霍茲線圈
- 螺線管

### 電磁感應（磁生電）——下次複習進度
描述「含時磁場產生電動勢」（感生電動勢）或「導體在磁場中的運動產生電動勢」（動生電動勢）

## 作業
1. 承「中模指考108-2-2 物理第1題」，用相對運動的觀念去思考：
- (a)兩球任一時刻的距離為何？
- (b)假設其中一顆球落地後反彈（彈性碰撞）後，兩球任一時刻的距離為何？
2. 承「中模指考108-2-2 物理第9題」，人在任一時刻施的力為何？（提示：找出滅火器質量 $m$ 與時間 $t$ 的函數關係）
3. 承「中模指考108-2-2 物理第14題」，則：
- (a)假如斜面非固定，碰撞為彈性，原題答案變為何？
- (b)假如斜面固定，碰撞為非彈性，恢復係數為 $C$（定義參考之前某次力學小考的非選題，或參考[維基百科](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E6%81%A2%E5%A4%8D%E7%B3%BB%E6%95%B0)），原題答案變為何？
4. 【補充：[康普頓散射](https://hackmd.io/@ulynx/compton_scattering_prob)】考慮高能光子與原子中電子的散射（即碰撞），因為光子能量高，原子對電子的束縛能可以忽略，所以可視為光子與自由電子的散射。我們採用的實驗室坐標系，使得自由電子在碰撞前為靜止。現在假設光子撞擊前的波長為 $\lambda$，撞擊後的光子波長變為 $\lambda'$，偏向角為 $\theta$，被撞後的電子質量為 $m$，速率為 $v$，與光子入射方向的偏向角 $\phi$。撞擊過程的示意圖如下：
已知下列事實：
- 根據狹義相對論，電子靜止能量為 $mc^2$，運動時電子動量量值為 $\gamma mv$，能量為為 $\gamma mc^2$，其中 $c$ 是真空中的光速，而 $$\gamma=\left(1-\dfrac{v^2}{c^2}\right)^{-1/2}$$ 是相對論中常用的因子。
- 碰撞過程中，光子可被視為粒子而帶有動量，其動量由**德布羅意關係式**給出：$$p=\frac{h}{\lambda}，$$$h$ 為普朗克常數。
- 光子的能量由**愛因斯坦關係式**給出：$$E=\frac{hc}{\lambda}。$$

請回答以下問題：（$\gamma$ 在此問題中只是常數，不要試著展開它，但記得 $\gamma^2=\left(1-v^2/c^2\right)^{-1}$。）
- (a) 寫出能量守恆的關係式。
- (b) 標出動量守恆的關係式
- (c\) 用(a)、(b)小題的結果原理證明 $$\lambda' -\lambda={\frac {h}{mc}}\left(1-\cos \theta \right)$$

5. [2020年6月24日 常錯題型整理#力學與電磁學、近代物理綜合題型](https://hackmd.io/@ulynx/AST0624#%E5%8A%9B%E5%AD%B8%E8%88%87%E9%9B%BB%E7%A3%81%E5%AD%B8%E3%80%81%E8%BF%91%E4%BB%A3%E7%89%A9%E7%90%86%E7%B6%9C%E5%90%88%E9%A1%8C%E5%9E%8B)第1至15題。

### 解答
4.
- (a) 能量守恆：$$\overbrace{\underbrace{\frac{hc}{\lambda}}_{光子能量}+\underbrace{mc^2}_{電子能量}}^{碰撞前}=\overbrace{\underbrace{\frac{hc}{\lambda'}}_{光子能量}+\underbrace{\gamma mc^2}_{電子能量}}^{碰撞後}\tag{1}$$
- (b) $x$ 方向（入射方向）動量守恆：$$\overbrace{\underbrace{\frac{h}{\lambda}}_{光子動量\\x 分量}}^{碰撞前}=\overbrace{\underbrace{\frac{h}{\lambda'}\cos\theta}_{光子動量\\x 分量}+\underbrace{\gamma mv\cos\phi}_{電子動量\\x 分量}}^{碰撞後}\tag{2}$$
$y$ 方向（垂直入射方向）動量守恆:$$\overbrace{\underbrace{0}_{光子動量\\y 分量}}^{碰撞前}=\overbrace{\underbrace{\frac{h}{\lambda'}\sin\theta}_{光子動量\\y 分量}+\underbrace{\gamma mv\sin\phi}_{電子動量\\y 分量}}^{碰撞後}\tag{3}$$
- (c\) 將 (1) 式除以 $c$，移項一下，可得：$$\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda'}=(\gamma-1)mc。\tag{4}$$
將 (4) 平方，得 $$\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}+\frac{h^2}{(\lambda')^2}=(\gamma-1)^2m^2c^2\tag{5}$$
由 (2) 式移項得 $$\frac{h}{\lambda}-\frac{h}{\lambda'}\cos\theta=\gamma mv\cos\phi，\tag{6}$$
由 (3) 式移項得 $$\frac{h}{\lambda'}\sin\theta=\gamma mv\sin\phi。\tag{7}$$
將 (6)、(7) 兩式平方，然後相加，得$$\frac{h^2}{\lambda^2}-2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}\cos\theta+\frac{h^2}{(\lambda')^2}=\gamma^2m^2v^2=\left(\gamma^2\frac{v^2}{c^2}\right)m^2c^2。\tag{8}$$
用 (5) 式減去 (8) 式，得$$\require{cancel}\begin{aligned}-2\frac{h^2}{\lambda\lambda'}(1-\cos\theta)&=\left[(\gamma-1)^2-\gamma^2\frac{v^2}{c^2}\right]m^2c^2\\&=\left[\cancelto{1}{\gamma^2\left(1-\frac{v^2}{c^2}\right)}-2\gamma+1\right]m^2c^2\\&=-2(\gamma-1) m^2c^2，\end{aligned}$$ 故 $$\gamma-1=\frac{h^2}{m^2c^2\lambda\lambda'}(1-\cos\theta)\tag{9}$$ 將 (9) 式代入 (4) 式，得 $$\frac{1}{\lambda}-\frac{1}{\lambda'}=\frac{h}{mc\lambda\lambda'}(1-\cos\theta)$$ 或 $$\lambda'-\lambda=\frac{h}{mc}(1-\cos\theta)。\tag{10}$$ 這就是**康普頓頻移**公式。
[維基百科](https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%BA%B7%E6%99%AE%E9%A0%93%E6%95%A3%E5%B0%84#%E5%BA%B7%E6%99%AE%E9%A1%BF%E9%A2%91%E7%A7%BB%E5%85%AC%E5%BC%8F)上使用更簡潔的解法——僅須用三角形法拆解光子原本的動量，然後用餘弦定理分析三個動量量值與夾角 $\theta$ 間的關係，就可得到康普頓頻移公式。