# 5月2日 檢討
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## 北模 104-2-2 物理
### 第4題
頻率 $f=50\text{ Hz}$
原本的空氣中聲速 $v=325\text{ m/s}$
原本波長 $\lambda=6.5\text{ m}$
距離 $L=n\lambda$

空氣中聲速與溫度的關係：$v=v_0+(0.5 \text{m/s}\cdot ^\circ\text{C})\Delta T$
後來的空氣中聲速 $v'=337.5\text{ m/s}$
後來波長 $\lambda'=6.75\text{ m}$
距離 $L=(n-2)\lambda'$

$L=n(6.5\text{ m})=(n-2)(6.75\text{ m})$
$\implies n=54$

距離 $L=351\text{ m}$

### 第9題
角速率 $\omega=10\text{ rad/s}$
質點質量 $m=500\text{ g}=0.5\text{ kg}$
細繩質量 $m_s=3.2\text{ g}$

假設繩長 $\ell$
向心力 $F_c=m\ell\omega^2=(0.5 \text{ kg})\ell(10\text{ rad/s})^2$ ＝繩張力
線密度 $\mu=m/\ell=(3.2\times 10^{-3} \text{ kg})/\ell$

弦上波速 $v=\sqrt{F_T/\mu}$，$F_T$ 為繩張力，$\mu$ 為線密度

$v=\sqrt{\dfrac{(0.5 \text{ kg})\ell(10\text{ rad/s})^2}{(3.2\times 10^{-3} \text{ kg})/\ell}}=\ell\sqrt{\dfrac{(0.5 \text{ kg})(10\text{ rad/s})^2}{(3.2\times 10^{-3} \text{ kg})}}=\ell(1.25\times 10^{3}\text{ s}^{-1})$

$\Delta t=\dfrac{\ell}{v}=\dfrac{\ell}{\ell(1.25\times 10^{3}\text{ s}^{-1})}=\boxed{8\times 10^{-3}\text{ s}}$

### 第15題
$v=\sqrt{gh}=\sqrt{(10\text{ m/s}^2)(36.1 \text{m})}=\sqrt{361\text{ m}^2/\text{s}^2}=19\text{ m/s}$

「共振效應」：海灣總長度是波長的 $n/4\ (n=1,3,5,\ldots)$ 倍

$v=\lambda f=\lambda/T$，$T$ 為週期
$210\text{ km}=\dfrac{n}{4}\lambda=\dfrac{n}{4}vT=\dfrac{n}{4}(19\text{ m/s})T,\quad n=1,3,5,\ldots$
$T=\dfrac{4}{n}\dfrac{210000\text{ m}}{19\text{ m/s}}=\dfrac{84}{19n}\times 10^{4}\text{ s},\quad n=1,3,5,\ldots$

$T\leq \dfrac{84}{19}\times 10^{4}\text{ s}=4.4\times 10^{4}\text{ s}$

### 第17題

### 第22題
$\displaystyle P_x=\dfrac{Nm}{L^3}\dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{ix}^2$
$\displaystyle P_y=\dfrac{Nm}{L^3}\dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{iy}^2$
$\displaystyle P_z=\dfrac{Nm}{L^3}\dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{iz}^2$

$\displaystyle \because P_x=P_y=P_z\quad \therefore \dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{ix}^2=\dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{iy}^2=\dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{iz}^2$

$\begin{array}{crcl}&\displaystyle \dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{ix}^2 &=& \dfrac{1}{N}\left(v_{0x}^2+v_{1x}^2+\cdots+v_{Nx}^2\right)\\ &\displaystyle\dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{iy}^2 &=& \dfrac{1}{N}\left(v_{0y}^2+v_{1y}^2+\cdots+v_{Ny}^2\right) \\ +\Big)&\displaystyle \dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{iz}^2 &=& \dfrac{1}{N}\left(v_{0z}^2+v_{1z}^2+\cdots+v_{Nz}^2\right)\\\hline&\displaystyle\dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{i}^2&=&\dfrac{1}{N}\left(v_{0}^2+v_{1}^2+\cdots+v_{N}^2\right)\end{array}$

＊後續推導：
$\displaystyle v_\text{rms}\equiv\sqrt{\dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{i}^2},\qquad v_\text{rms}^2\equiv\dfrac{1}{N}\sum^N_{i=1}v_{i}^2$

$P=\dfrac{Nm}{3L^3}v_\text{rms}^2$，$V=L^3$，
$PV=\dfrac{1}{3}Nmv_\text{rms}^2$
理想氣體方程式 $PV=nRT=Nk_BT$
$\dfrac{1}{3}mv_\text{rms}^2=k_BT$
氣體分子平均動能 $\bar{E_k}\equiv\dfrac{1}{2}mv_\text{rms}^2$
$\dfrac{2}{3}\times\dfrac{1}{2}mv_\text{rms}^2=\dfrac{2}{3}\bar{E_k}=k_BT$
$\bar{E_k}=\dfrac{3}{2}k_BT$
## 北模 100-2-2 物理
### 第6題
- **轉動慣量**（慣性矩，moment of inertia）
- 質點系統：$\displaystyle I=\sum_{i=1}^{N} m_i r_i^2$
- 連續質量分佈：$\displaystyle I=\int r^2 dm=\int \rho r^2 dV$
- 圓盤的轉動慣量公式：$I=MR^2$，$M$ 為質量，$R$ 為半徑

- $F=ma$
力＝質量×加速度
- $\tau=I\alpha$
力矩＝轉動慣量×角加速度
### 第7題
- 流體靜壓差 $\Delta p=\rho gh$，
- $h$ 為深度，
- $\rho$ 為流體密度
- 浮力 $F_b=m_f g=\rho V_f g$，
- $m_f$ 為物體排開的液體的質量，
- $V_f$ 為物體排開的液體的體積，
- $\rho$ 為流體密度

原本 ：（杯＋重物）重力＝浮力
$2mg=0.2HA\rho g$

後來 ：（杯＋更多重物）重力＝浮力
$(2m+m')g=0.6HA\rho g$

所以 $m'=4m$

### 第11題
表面張力＝力 ÷ 長度
$TL(\sin 53^\circ-\sin 37^\circ)=ma$
$T=\frac{1}{5}ma/L$
### 第17題
* (A) 錯，粉末堆積處為節點，空氣分子振動幅度最小。
* (B) 錯，$1/2$ 倍波長。
* (C\) 錯，喇叭與管中駐波頻率相同。
* (D) 錯，可以形成共振。
$68$ 公分長管的第四諧音（harmonic），變成 $85$ 公分長管的第五諧音，但兩個頻率一樣
* (E) 對，波長 $\lambda=34\text{ cm}$，頻率 $f=v/\lambda=(340\text{m/s})/(34\text{ cm})=\boxed{1000\text{ Hz}}$。

### 第18題

#### 上課時板書
（上方筆誤兩處，正確推導如下）
#### 解法一
假設 $S$ 點坐標為 $x=0$，$P$ 點坐標為 $x=d$（$d>0$），右方為 $+x$ 方向。
總電場 $E$ 是位置 $x$ 的函數，而且是$S$、$P$ 兩點所造成的電場的和：
（註：因為這是一維情形，所以可直接用代數和；如果是二維以上，須用向量加法）$$E(x)=E_S(x)+E_P(x)=\dfrac{kQ}{x^2}+\dfrac{-2kQ}{(x-d)^2}$$ 解 $E(x)=0$：$$\begin{array}{l}0=\dfrac{kQ}{x^2}+\dfrac{-2kQ}{(x-d)^2}\\\implies\dfrac{1}{x^2}=\dfrac{2}{(x-d)^2}\\\implies (x-d)^2=2x^2\\\implies x^2+2dx-d^2=0\\\implies x=-d\pm\sqrt{d^2+d^2}=(-1\pm\sqrt{2})d\end{array}$$

$x$ 有相異實根，故有兩處電場量值為零：
- $x_1=(-1+\sqrt{2})d$，因 $0<(-1+\sqrt{2})d<d$ ，所以 $x_1$ 在 $S$、$P$ 兩點之間（上課時口誤為 $P$ 點右側）；
- $x_2=(-1-\sqrt{2})d$，因 $(-1-\sqrt{2})d<0$，，所以 $x_2$ 在 $S$ 點左側。

#### 解法二
可點選此網頁進行互動：[desmos](https://www.desmos.com/calculator/pyginyxmx2)，電量為 $+Q$ 的 $S$ 點固定在原點，可以拖曳電量為 $-2Q$ 的 $P$ 點，觀察它們造成的電場（橘色與藍色，與點的顏色對應），以及總電場（紅色）
觀察發現，紅色曲線只跟 $x$ 軸有兩個交點，代表 $E(x)=0$ 只有兩個相異實根。

### 非選二 1