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title: 彈性碰撞
tags: [高中物理]

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# 彈性碰撞
###### tags: `高中物理`
考慮兩個質點在一條直線上進行[彈性碰撞]()（因此恢復係數為1，或者說碰撞過程中動量守恆）。假設一質點的質量為$m_1$，碰撞前速度為 $v_1$，碰撞後速度為 $v_1'$，另一質點的質量為$m_2$，碰撞前速度為 $v_2$，碰撞後速度為 $v_2'$。
## 實驗室坐標系（LAB系）觀點

我們有動量守恆 $$m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1'+m_2v_2'，\tag{1}$$
和動能守恆 $$\dfrac{1}{2}m_1v_1^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2^2=\dfrac{1}{2}m_1v_1'^2+\dfrac{1}{2}m_2v_2'^2，\tag{2}$$
我們要證明碰撞之後的速度分別為
$v_1'=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_2，\tag{3a}$
和
$v_2'=\dfrac{2m_1}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{m_2-m_1}{m_1+m_2}v_2，\tag{3b}$

### 證明
首先把(1)式移項，變成 $$m_1(v_1-v_1')=m_2(v_2'-v_2)，\tag{4}$$
再把(2)式兩邊同乘以2，得到 $$m_1v_1^2+m_2v_2^2=m_1v_1'^2+m_2v_2'^2，$$然後移項，變成 $$m_1(v_1^2-v_1'^2)=m_2(v_2'^2-v_2^2)。$$又以平方和公式展開 $$m_1(v_1+v_1')(v_1-v_1')=m_2(v_2'+v_2)(v_2'-v_2)。\tag{5}$$

比對(4)式和(5)式，發現左右有共同因子，於是把(4)式和(5)式相除，得到 $$v_1+v_1'=v_2'+v_2。\tag{6}$$這是一個重要的結果，因為移項一下， $$v_1-v_2=-(v_1'-v_2')，$$就可看出：==一個質點相對另一個質點的速度，在碰撞後逆轉。==

由(1)式改寫成 $$\begin{align}v_1'&=\dfrac{1}{m_1}\left(m_1v_1+m_2v_2-m_2v_2'\right)\\&=v_1+\dfrac{m_2}{m_1}v_2-\dfrac{m_2}{m_1}v_2'，\end{align}$$使用(6)式代入上式，得到 $$\begin{align}v_1'&=v_1+\dfrac{m_2}{m_1}v_2-\dfrac{m_2}{m_1}(v_1+v_1'-v_2)\\ \implies\left(1+\dfrac{m_2}{m_1}\right)v_1'&=\left(1-\dfrac{m_2}{m_1}\right)v_1+\dfrac{2m_2}{m_1}v_2\\ \implies v_1'&=\dfrac{m_1-m_2}{m_1+m_2}v_1+\dfrac{2m_2}{m_1+m_2}v_2，\end{align}$$即(3a)式。

同理，可證得(3b)。也可將(3a)的下標1與2對調得到(3b)。

## 質心坐標系（CM系）觀點


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