# DISTRIBUTIVGESETZ

## Definition:
Das Distributivgesetz ist eine mathematische Regel, die angibt wie sich diese 2 Terme auflösen lassen.

1. Formel:

**a(b+c) =a•b+a•c**


2. Formel

**(a+b)(c+d) =a•c+a•d + b•c+bd**


## Beispiele:

1 Formel:
4(3x-5)=4•3x-4•5=12x-20

2 Formel:
(5+4x)•(3+4x) = 5•3+5•4x + 4x•3+4x•4x
= 15+20x+12x+16x²
= 15+32x+16x²

Vorsicht:
* beim Multiplizieren: x•x ergibt x²
* Vorzeichen: + und - beachten

**Erklärvideo**
https://youtu.be/tsc899WPmqY

# WURZEL

## 1. Was sind Wurzel und für was braucht man sie?

Man braucht Wurzel um Rechenausdrücke zu vereinfachen.

## 2. Teile einer Wurzel

## 3. Was ist eine Wurzel?
Die Wurzel einer Zahl ist eine positive Zahl, die mit sich selbst multipliziert wieder die ursprüngliche Zahl ergibt. Es gibt bei den reellen Zahlen keine negative Wurzel, denn es existiert in IR keine Zahl, welche mit sich selber multipliziert eine negative Zahl ergibt.

## 4. Beispiele
a) /4'=2 weil 2•2=4
b) /9'=3 weil 3•3=9
c) /16'=4 weil 4•4=16
d) /25'=5 weil 5•5=25
Das Gegenteil von Wurzel ziehen ist quadrieren, also hoch zwei.

## 5. Wer hatte die Wurzel erfunden?
Sie wurde im Jahr 1525 vom deutschen Mathematiker Christoph Rudolff erfunden.
Das Wurzelzeichen √ stammt wohl von dem kleinen Buchstaben r und steht für radizieren.

## 6. Beispiele

a) Beispiel
quadratische Gleichung
x²=81
x =+-/81`
x~1~= 9
x~2~=-9

Man löst diese Gleichung indem man die Wurzel zieht. Die Gleichung hat zwei Lösungen.

b) Quadratische Gleichung mit Binom lösen

(x-3)²=9
x-3 =+-/9'

x~1~-3=3 |+3
x~1~=6

x~2~-3=-3 |+3
x~2~=0

# BINOMISCHE FORMEL
Man benutzt es um bestimmte Terme zu vereinfachen.
Es gibt drei verschiedene Formeln:
1.(a+b)² = a²+2ab+b²
2.(a-b)² = a²-2ab+b²
3.(a+b)(a-b)= a²-b²

## 1. Binomische Formel: Beispiel mit und ohne Formel, damit man sehen kann, dass es schneller und leichter ist.
1. Ohne Formel: (X+2)²= (X+2) (X+2) =X•X+X•2+2•X+2•2 =X²+2X+2X+4 =x²+4X+4
2. Mit Formel: (a+b)² =a²+2ab+b²
Einsetzen: (X+2)² =X²+2•2X+2²
=X²+4X+4
Mit eine Formel braucht man nur zwei Schritte, sonst braucht man vier.

2. Binomische Formel: 1. Ohne Formel: (6X-7Y)²= (6X-7Y)(6X-7Y)
= 6X•6X-6X•7Y-7Y•6X+7Y•7Y
= 36X²-42XY-42XY+49Y²
= 36X²-84XY+49Y²
2. Mit Formel: (a-b)² = a²-2ab+b²
Einsetzen: (6X-7Y)²= (6X)²-2•6X•7Y+(7Y)²
= 36X²-84XY+49Y²

3.Binomische Formel:
1. Ohne Formel:
(4+3)(4-3)= 4•4-4•3+3•4-3•3
= 16-12+12-9
= 16-9

2. Mit Formel:
(a+b)(a-b)= a²-b²
Einsetzen: (4+3)(4-3) = 4²-3²
= 16-9
= 7

1. (6+6X)²= 6²+2•6•6+6X = 36+72+36X = 108+36X
2. (2X+7y)²=(2X)²+2•2X•7y+(7y)² =4X²+28XY+49Y²
3. (4X+9)²=(4X)²+2•4X•9+9² =16X²+72X+81
4. (18X+19A)²=(18X)²+2•18X•19A+(19A)² =324X²+684XA+361A²
5. (6A+12B)²=(6A)²+2•26A•12B+(12B)² =36A²+624AB+144B²
6. (Z+1/2)²=Z²+2•Z•1/2+(1/2)² =Z²+1Z+0,25
7. (2/3+A)²=(2/3)²+2•2/3•A+A² =4/9+4/3A+A²
8. (5A+6B)²+(7B+4A)²=(5A)²+2•5A•6B+(6B)²+(7B)²+(7B)²+2×7B•4A+(4A)² =25A²+60AB+36B²+49B²+56AB+16A² =41A²+116AB+85B²
9. (3+6A)²=3²+2•3•6A+(6A)² =9+36A+36A²
10. (1/2a+3R)²
=(1/2A)²2•1/2A•3R+(3R)² =0,25A²+3R+9R²

Beispiele 2. Formel:

1. (6-2)²=6²-2•2•6+2² =36-24+4 =16
2. (3-9)²=3²-2×3×9+9² =9-54+81 =36
3. (6X-15Y)²=(6X)²-2•6X•15Y+(15)² =36X²-180XY+225Y²
4. (7X-2A)²=(7X)²-2•7X•2A+(2A)² =49X²-28XA+4A²
5. (4-16)²=4²-2•4•16+16² =16-129+256 =144
6. (2C-8D)²=(2C)²-2•2C•8D+(8D)² =4C²-32CD+64D²
7. (5Y-10X)²=(5Y)²-2•5Y•10X+(10X) =25Y²-100XY+100X²
8. (18A-3B)²=(18A)²-2×18A•3B+(3B)² =324A²-108AB+9B²
9. (9Z-12B)²=(9Z)²-2•9Z•12+(12B)² =81Z²-216BZ+144B²
10. (8X-10Y)²=(8X)²-2•8X•10Y+(10Y)² =64X²-160XY+100Y²

Beispiele 3. Formel:

1. (A+1) (A-1)=A²-1²= A²-1
2. (25+31) (25-31)=25²-31²= 625-961= -336
3. (13XY+13A) (13XY-13A) =(13XY)²-
4. (14F²+20X) (14F²-20X) =(14F)-(20X)²
5. (9J+10X) (9J-10X) =(9J)²-(10X)²=81J-100X
6. (7X+8X) (7X-8X)=(7X)²-(8X)²= 49X²-64X²
7. (22J+7N) (22J-7N)=(22J)²-(7N)²=484J-49N
8. (9X+30Z) (9X-30Z)=(9X)²-(30Z)²=81X-900Z
9. (19AX+15B) (19AX-15B) =(19AX)²-(15B)²= 361AX²-225B²
10. (17C+23/2) (17C-23/2)= (17C)²-(23/2)²=289C-529/4

# LINEARE FUNKTIONEN

Eine lineare Funktion oder ganzrationale Funktion 1. Grades hat folgende Funktionsgleichung:
f(x) = mx + b
m ist die Steigung
b ist der y - Achsenabschnitt
Ist m < 0 dann ist die Gerade fallend
Ist m > 0 ist die Gerade steigend


## Wie zeichnet man eine Gerade?

um b zu zeichnen, muss man einfach die Nummer die b in der Gleichung ist an der y Achse markieren. So weißt du wo die Gerade an der y-Achse schneidet

um m zu zeichnen, also die Steigung, muss man vom Punk was wir schon an der y-Achse markiert haben, z.B.: eine Stelle zur Seite, und zwei nach oben

m = Delta y/ Delta x
=((y~1~-y~2~)/(x~1~-x~2~))
Δ (Delta) heißt Differenz
(Differenzzeichen)

Beispiel:
f(x) = 2x + 7

Um die Gerade zu zeichnen muss man die 7 an der y - Achse markieren.
Von diesen Punkt aus muss man 1 Einheit nach rechts und 2 nach oben (2/1)

## Aufstellen von Geradengleichungen:

1.Fall
geg.: Steigung m und P(0/b)
f(x)=mx+b
Bsp: m=-2 P(0/3)
> f(x) = -2x + 3

2.Fall
gegeben wird: Steigung m und A(x1)(y1)
Bsp: m = 2 A(-3/1)
m = 2/1 = delta y / delta x
f(x) = mx+b
m = 2 : f(x) = 2x + b
Punkt A einsetzen
x = -3 y = 1
2*(-3)+b = 1
-6+b = 1 | +6
b = 7
> f(x)=2x+7

3.Fall
zwei Punkte
A(2/3) B(4/5)

m bestimmen: y1-y2/X1-x2
3-5/2-4
-2/-2
m=1

A einsetzen: y=1x+b
3=1•2+b
3=2+b
1=b

> f(x)=1x+1

**Erklärvideo:**
https://www.youtube.com/watch?v=3Xe7S31uW-s(https://)

## Aufgaben:
a) f(x) = -2x + 2
b) f(x) =1/2x - 3/4
c) f(x) = 3x - 7

a) P(3/4) P(7/-1)
b) P(-8/1) P(2/-3)

Lösungen:


# GESICHTER EINEN GANZRATIONALEN FUNKTION 2.GRADES

## 1.Scheitelform
f(x)= a×(x-d)²+e
* Scheitelform lässt sich ablesen
* Nullstellen: f(x)=0
* Ausmultiplizieren
* ABC Formel
* 

## 2.Allgemeine Form
f(x)= ax²+bx+c
* Mittelnachtsformel lässt sich direkt anwenden
* Scheitelpunkt
* 

## 3.Faktorform
f(x)= a×(x-z)×(x-w)
* Nullstellen direkt ablesen
* Die Faktorform ist nicht immer möglich.
* Scheitelpunkt:
xs= (z+w)÷2
ys=f(xs)
* 

Beispiel:

1. f(x)=2(x-3)²+4
* Scheitelform: Scheitelpunkt. S(3/4)
* keine Nullstelle
* keine Faktorform
allgemeine Form (ausmultiplizieren, zusammenfassen)
* 2(x-3)²+4
* =2(x-3)²+4
* =2(x²-2x•3+3²)+4
* =2(x²-6x+9)+4
* =2x²-12x+18+4
* =2x²-12x+22
f(x)= 2x²-12x+22

# NULLSTELLEN VON PARABELN
Da die y-Koordinate eines Schnittpunktes mit der x-Achse immer Null ist, lautet der Ansatz zur Berechnung einer Nullstelle: y=0 . Wegen y=f(x) kann man auch schreiben: f(x)=0
# Eine Parabel kann 0, 1 oder 2 Nullstellen haben.
Formeln:
Allgemeine Form
Faktorform
Scheitelform
Diese Formel benutzt man um die Nullstellen von den Parabeln zu wissen.
Man benutzt immer die einfachste.
# Die allgemeine Formel lautet:
f(x) =ax²+bx+c
# Die Faktorform lautet:
f(x)=a(x-z)(x-w)
# Die Scheitelform lautet:
f(x)=a(x-d)²+e

# BEISPIELE:
](https://)

# DER TASCHENRECHNER

1. Einleitung:
**Erklärvideo**
[https://youtu.be/aq6t0UTtrzw]
Ac/ON Taste
Wir sind in Menu: Maus +Exe Untere Zahl (1)
Zahl und dann Exe
Löschen Del, Alles löschen F2+F2 Zeile löschen F2+F1

2. Spezielle Sachen
**Erklärvideo**
[https://youtu.be/g8y4EL9Al2k]

1 Wurzel: Shift + x^2 drücken
2 Brüche schreiben: ab/c
3 x schreiben: x,o T drücken
4 x² schreiben: x^2 drücken
5 Klammer ( )
6 Von Bruch zu Dezimal oder andersrum F-D

3. Graphen zeichnen
**Erklärvideo**
https://youtu.be/aUTlOl_X30A

. AC/ON Taste
. Wir sind in Menu
- Maus + Exe
- Untere Zahl (5)
. Funktion eingeben und dann Exe drücken
. Auf F1 X und Y sehen
. Auf F2 X und Y Faktor
. Auf F3 X: MAX
MIn- ISCT
y-CALC.
x- CALC.

4. Wertetabelle
**Erklärvideo**
https://youtu.be/Dt0KWaNtHHc[](https://)

1. AC/ON Taste
2. Wir sind in Menu
. Maus + Exe
. Unterezahl (7)
3. Gleichung eingeben und auf Exe drücken
4. F6 Gezeichnet
5. F2 Löschen
. Ja F1
. Nein F6

4 Spezielle Sachen

1.Definition
. Ja F1
. Nein F6
2. Style F4
3 F6 Exe

6. Spezielle Sachen

1 Del JaF1 NeinF6
2 Styl F4

7. Equa/Nullstellen

1 Ac/On Taste
2 Wir sind in menu Maus + Exe Unterzahl (A) Alphat xoT
3 F2 Polynomaleglaichungen
4 Grade /2 Grades F1
5 a,b,c einsetzen
6 Exe -> Ergebnis
7 Del JaF1 NeinF6

8. V-Window

Ac/On Taste
Wir sind bei Menu Mause Exe Unterzahl (5/7)
Shif + F5
x min einsetzen
x max einsetzen
y min einsetzen
y max einsetzen