Binomial Distribution
讲Poisson Distribution之前，我们先聊聊Binomial Distribution，如果你已经熟悉这部分，可以略过。
场景：假设我们扔一枚硬币（无论是否均匀），得到head的概率P(H) = 0.7，得到tail的概率P(T) = 0.3。
假设我们投该硬币n次，
那么得到head的次数的期望E(X) = n · P(H)
假设 p = P(H) = 0.7，则得到k次head的概率为：

关于二项分布的期望为什么是 E(X) = n · p 的证明：

Poisson Distribution
终于进入正题了，泊松分布在交通领域有比较广泛的应用，尤其是在“一段时间内通过道路某一断面的车辆数”上非常有用。
我们定义一个变量X，表示一小时内通过某个位置的车辆数。
此时我们需要两个假设：
每个小时之间，通过该位置的车辆数基本相同（为了避免早高峰之类的情况）；
在当前小时通过一定数量的车辆后，不意味着下一个小时的车辆数会变多或变少（为了保证每个小时通过的车辆数之间是相互独立的）。
案例建模
如果我们是traffic engineer，我们可以利用上面提到过的二项分布来尝试对该问题进行建模。
假设每一分钟内最多有1辆车会通过该位置，那么1小时内，相当于我们做了60次实验，该实验的结果服从二项分布。当然，一分钟可能会有点大，我们可以缩小为 每秒，每毫秒，甚至更小。
那么，根据二项分布，我们有E(X) = np = λ (unit: vehicles/hour)。其中 ：
λ 是每小时通过该位置的车辆数
n 为60，也就是在一小时内，以分钟为间隔，我们做了60次独立实验
那么 p = 60/λ
进而，每小时内有k辆车通过该位置的概率P(X=k)为：
$P(X=k) = C_{60}^k \cdot (\frac{λ}{60})^k \cdot (1-\frac{λ}{60})^{60-k} \tag{1.1}$
好的，现在我们有了一个比较简单的模型了。就像上面提到的，如果一分钟内有不止一辆车通过该位置怎么办？——切分成秒级。同理如果一秒内也有不止一辆车通过该位置怎么办？——切分成毫秒级。
那我们就需要无限切分，也就是Δt→0的极限（求出的这个极限值就是Poisson Distribution）：
在我们推导公式之前，我们先引入下面两个等式（如果不了解这两个等式，推荐看一下先本文最后的注释）。
$①\lim_{x\rightarrow‎\infty}(1+\frac{a}{x})^x = e^a \text{,} \space \space a \text{为常数} \\
② \frac{x!}{(x-k)!} = x \cdot (x-1) \cdot (x-2) \cdot \cdot \cdot (x-k+1) \\
③\lim_{x\rightarrow a}{f(x) \cdot g(x)} = \lim_{x\rightarrow a}{f(x)} \cdot \lim_{x\rightarrow a}{g(x)}$
现在我们来计算上面(1.1)式的极限：
$P(X=k) = \lim_{n\rightarrow\infty} C_n^k \cdot (\frac{λ}{n})^k \cdot (1-\frac{λ}{n})^{n-k} \\
= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n!}{(n-k)! \cdot k!} \cdot \frac{λ^k}{n^k} \cdot (1-\frac{λ}{n})^n \cdot (1-\frac{λ}{n})^{-k}\\
= \lim_{n\rightarrow\infty}\frac{n\cdot(n-1)\cdot(n-2)\cdot\cdot\cdot(n-k+1)}{n^k} \cdot \frac{λ^k}{k!} (1-\frac{λ}{n})^n \cdot (1-\frac{λ}{n})^{-k}\\
\text{注意，最前面一项分式的分子是从} n\text{到} (n-k+1)\text{共}k \text{项。}\\
\text{因此，分子展开后的多项式的最高次项指数为}k。 \\
\text{所以第一项分式的极限（根据洛必达法则）就是1} \\
\text{然后我们根据③，将乘法拆开分别求极限，得到如下式子：}\\
= \lim_{x\rightarrow \infty} {\frac{n^k + ...}{n^k}}\cdot \lim_{x\rightarrow \infty}{\frac{λ^k}{k!} \cdot \lim_{x\rightarrow \infty}{(1-\frac{λ}{n})^n \cdot \lim_{x\rightarrow \infty}(1-\frac{λ}{n})^{-k}}} \\
= 1 \cdot \frac{λ^k}{k!} \cdot e^{-λ} \cdot 1 \space \space \text{(注意，第三项是根据上面的①得到的)}\\
= \frac{λ^k}{k!} \cdot e^{-λ}$
注释
$\lim_{x\rightarrow‎\infty}(1+\frac{a}{x})^x = e^a \text{,} \space \space a \text{为常数。证明：}\\
\text{令} \frac{1}{n}=\frac{a}{x}\text{，则有}x=n \cdot a \text{。那么：} \\
\lim_{x\rightarrow‎\infty}(1+\frac{a}{x})^x = \lim_{n\rightarrow‎\infty}(1+\frac{1}{n})^{x \cdot a} = \lim_{n\rightarrow‎\infty}{((1+\frac{1}{n})^n)^a} \\
\text{其中}\lim_{n\rightarrow‎\infty}{(1+\frac{1} {n})^n} \text{这部分是趋向于}e \text{的，所以上面的等式得证。}$