# ヒルベルト空間から再生核ヒルベルト空間を作る。

ヒルベルト空間の双対空間にいい感じの内積を定義してやると再生性(後述)が出てきてしまう。
多分無理だけど、なぜかうまく行ってしまう。この議論のどこかに変な仮定が紛れ込んでいるか、間違った議論をしている。と思う。多分。
予想では、これで入る内積で作るグラム行列が正定値性を持つからだと予想している。
変なところがあったら教えてください...

## 議論

- 定義

ヒルベルト空間$\mathcal{H}$の内積を$\langle \cdot,\cdot \rangle_{\mathcal{H}}$とする。

- 双対空間を作る

内積の内、片方を固定した関数を考える。つまり、
$$
f_w(x)=\langle w, x \rangle_\mathcal{H}
$$
とする。こいつに内積を与えたい。つまり、こういう関数の集まりを$w$を色々変え$\mathcal{K}$として、$\langle f_w, f_v \rangle_\mathcal{K}$ とかやりたい。
しかし、このままでは値と関数は多対一である（$\alpha \not = \beta$として、$f_\alpha = f_\beta$になるかもしれない）。

そこで、そういった値の中からノルムが一番小さい物を取ってきて、それを$w^*$とする。もちろん$f_w=f_{w^*}$で、関数自体は変化しない。
後で使うが、$f_{w^*}=f_{a}$となるような$a$は、$w^*$自身と$w^*$に垂直な$w^\perp$で、
$$
a=w^*+w^\perp
$$
とできる。$f$は内積で定義しているため直行成分があったら$f_{w^*}\not =f_{a}$となってしまうためである。

さて、満を持して内積を定義する。
$$
\langle f_w, f_v \rangle_\mathcal{K} = \langle w^*, v^* \rangle_\mathcal{H}
$$
で定義する。
内積が入ったから、あとは諸々すれば $\mathcal{K}$をヒルベルト空間にできる。

- 再生性

最後に再生性を示す。ゴールは、任意の$f_w \in \mathcal{K}$に対し
$$
f_w(x) = \langle f_w, f_x \rangle_\mathcal{K}
$$
を示すことである（これが再生性の定義）。

まず$w$を$w=w^*+w^\perp$と分解する。
次に、$x$を$w$と同じように、$x=x^*+x^\perp$と分解する。


ここで、$f_w(x)=f_{w^*}(x)$より

$$
\langle w, x \rangle_\mathcal{H}= \langle w^*, x \rangle_\mathcal{H}
$$
一方、$w$を展開すると、
$$
\langle w, x \rangle_\mathcal{H}= \langle w^*, x \rangle_\mathcal{H} + \langle w^\perp, x \rangle_\mathcal{H}
$$
より、$\langle w^\perp, x \rangle_\mathcal{H}=0$より、$x$と$w^\perp$は直行するので、$x^\perp = 0$つまり$x=x^*$ となる。

したがって、

$$
\begin{eqnarray}
\langle f_w, f_x \rangle_\mathcal{K} &=& \langle w^*, x^* \rangle_\mathcal{H} \\
&=& \langle w, x^* \rangle_\mathcal{H} \ \ \ \ \because f_w=f_{w^*} \\
&=& \langle w, x \rangle_\mathcal{H} \ \ \ \ \ \because x = x^* \\
&=& f_w(x)
\end{eqnarray}
$$
となる。(証明終了)