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懶人包：

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# introduction 緒論


- 量子的四個重要性質
1. Quantum Superposition **量子疊加**，可以同時呈現0或1的狀態，透過線型組合來表示
2. Quantum Entanglement **量子糾纏**，量子態會受到其他量子態的影響而呈現
3. Quantum Measurement(collapse) **量子量測**，觀測將影響結果(eg. Schrödinger's cat)
4. phase kickback **相位回擊**，不同空間(channel)中跳躍，需要key(即eigenvector)，用處是訊號瞬間傳達
- 補充：
- 電路之時間複雜度：$O(1)$ ，瞬間完成
- 1-qubit $\in C^2$ , 2-qubit $\in C^4$, n-qubit $\in C^{2^n}$

# Single Qubit 單一量子位元

## 高中數學複習 - 複數

- 推導從 映射到
-
- Euler 公式：$e^{i\pi}=1$
-

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# 量子計算的矩陣表示式

在量子計算中，我們使用矩陣來表示量子位元和量子閘。

**1. 量子位元的表示：**

- **量子位元**是量子資訊的單位。
- 與只能處於 0 或 1 狀態的經典位元不同，量子位元可以處於稱為**疊加態**的狀態，該狀態是這兩種狀態的線性組合。
- 我們可以使用二維向量表示量子位元：
- 量子位元的狀態 $|0\rangle$ 表示為 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$。
- 量子位元的狀態 $|1\rangle$ 表示為 $\begin{bmatrix} 0 \\ 1 \end{bmatrix}$。
- 量子位元的疊加態 $|ψ\rangle$ 可以表示為：
- $|\psi\rangle = \alpha|0\rangle + \beta|1\rangle$ ，其中 $\alpha$ 和 $\beta$ 是複數，滿足 $|\alpha|^2 + |\beta|^2 = 1$。
- $|\alpha|^2$ 表示測量量子位元時，發現它處於狀態 $|0\rangle$ 的機率，$|\beta|^2$ 表示測量量子位元時，發現它處於狀態 $|1\rangle$ 的機率。
- 在矩陣表示式中，量子位元 $|\psi\rangle$ 可以寫成：
- $|\psi\rangle = \begin{bmatrix} \alpha \\ \beta \end{bmatrix}$

**2. 量子閘的表示：**

- 量子閘是對量子位元進行操作以執行計算的邏輯運算。
- 量子閘可以用作用於量子位元向量表示式的么正矩陣來表示。其中么正矩陣為其共軛轉置恰為其反矩陣的複數方陣。
- 么正矩陣 $U$ 滿足以下條件：
- $U^{\dagger}U = UU^{\dagger} = I$，其中 $U^{\dagger}$ 是 $U$ 的伴隨矩陣（共軛轉置），$I$ 是單位矩陣。
- 單量子位元閘作用於單個量子位元，可以使用 $2\times2$ 矩陣表示。
- 多量子位元閘作用於多個量子位元，可以使用更大的矩陣表示（例如，$4\times4$ 矩陣用於雙量子位元閘）。
- 以下是一些常見量子閘的矩陣表示：
- **Hadamard (H) 閘：** $H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$
- **Pauli-X (X) 閘（也稱為 NOT 閘）：** $X = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$
- **Pauli-Y (Y) 閘：** $Y = \begin{bmatrix} 0 \\ -i \\ i \\ 0 \end{bmatrix}$
- **Pauli-Z (Z) 閘：** $Z = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$
- **受控非 (CNOT) 閘：** CNOT 閘是一個雙量子位元閘。 其矩陣表示為：
$$
\text{CNOT = } \begin{bmatrix}
1&0&0&0\\0&1&0&0\\0&0&0&1\\0&0&1&0
\end{bmatrix}
$$

**3. 量子計算的矩陣表示：**

- 為了對量子位元執行量子計算，我們應用一系列量子閘。
- 在矩陣表示中，這對應於將代表量子閘的么正矩陣與代表量子位元的向量相乘。
- 量子計算的結果是量子位元的最終狀態，可以通過測量獲得。

例如：讓我們考慮對處於狀態 $|0\rangle$ 的量子位元應用 Hadamard 閘的情況。

- 量子位元的初始狀態 $|0\rangle$ 的矩陣表示式為 $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$。Hadamard 閘的矩陣表示為 $H = \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}$。
- 應用 Hadamard 閘後，量子位元的最終狀態由以下公式給出：
$$
|0⟩\otimes H = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \otimes \frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{2}} \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{ 2 }}(\begin{bmatrix}
1 \\0
\end{bmatrix} + \begin{bmatrix}
0\\1
\end{bmatrix})= \frac{1}{\sqrt{2}}(|0⟩ + |1⟩)
$$

- 最終狀態 $\frac{1}{\sqrt{2}}\begin{bmatrix}1\\1\end{bmatrix}$ 是狀態 $|0\rangle$ 和 $|1\rangle$ 的疊加態，其中測量結果為 0 或 1 的機率相等。

ref

- [量子電腦教材-物理篇](https://drive.google.com/file/d/1_MzOPP1WOf3-wnWUge-sc33HBHlCbz2b/view)
- [量子電腦教材_數學篇](https://drive.google.com/file/d/1FNBnvqKb2ut6UxRzs5jl9OJYa4L25Fl9/view)
- [量子電腦教材_資訊篇](https://drive.google.com/file/d/1WAKpmaTLZEOaYkbrnvM8ikeUty9nHyBm/view)

1. 緒論
1. 背景知識
2. 原生QPU指令
3. QPU與GPU的特徵
2. 單一量子位元
1. 基本標記法介紹
2. 基本QPU運算
3. 基本QPU指令
3. 多量子位元
1. 進階標記法介紹
2. QPU運算指令：CNOT 、CPHASE 、CZ 、CCNOT 、SWAP 、 CSWAP 等
4. 量子瞬間傳送
1. 建立糾纏對
2. 製備有效乘載
3. 進行連結、疊加、接收、轉換，驗證
4. 實際應用
5. 量子算術與邏輯
1. QPU的算術
2. 整數運算
3. 複雜運算
4. 量子運算
5. 布林運算
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6. 振幅放大
1. 迴圈疊代
2. 多重翻轉
3. 振幅放大
7. 量子傅立葉轉換
1. QFT 、DFT 、FFT
2. QFU內部機制
8. 量子相位估算
1. 特徵相位
2. 相位估算
3. 實務估算
9. 量子搜尋
1. 相位邏輯
2. 邏輯求解
3. 布林通則
4. 演算法加速
10. Shor因數分解演算法
1. QPU-based Shor演算法
2. QPU執行步驟
3. 效能驗證
4. 空間與時間的Trade Off
11. 量子機器學習
1. QPU -based 線性分割
2. QPU -based Support Vector Machine
3. QPU -based Deep Learning
12. 進階文獻探討
1. 複變數函數論的導入
2. 量子閘的進階分解與匯集之先技術
3. 量子程式語言之發展
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# 附錄：
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