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title: "fpva - Cours 2 : Limites et continuté"
tags: fpva, cours, MiMos
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$$
\newcommand{\limto}[1]{\xrightarrow[#1]{}}
$$

# Fonction a plusieur variable - Cours 2 : Limites et continuité

[`video`](https://moodle.cri.epita.fr/pluginfile.php/52926/mod_resource/content/4/Vide%CC%81o%202%20-%20Limites%20et%20continuite%CC%81.mp4)
[`cours`](https://moodle.cri.epita.fr/pluginfile.php/52919/mod_resource/content/3/Partial_Derivatives_fr.pdf)
[`slides`](https://moodle.cri.epita.fr/pluginfile.php/52928/mod_resource/content/1/Notes%202%20-%20Limites%20et%20continuite%CC%81.pdf)

## Limite de fonction

> ### Definition
>
> Soit $f(x, y)$ une fonction a 2 variables. cette definition est similaire a celle a 1 varaible.
>
> on a:
>
> $$
> \lim_{(x,y) \to (a, b)} f(x, y) = L
> $$
>
> si $\forall \varepsilon > 0, \exists \delta > 0 $ tel que
>
> $$
> |f(x,y) - L| < \varepsilon
> $$
>
> $\forall \vec x = (x, y)$ verifiant
>
> $$
> \begin{align}
> 0 < ||\vec x - \vec a|| < \delta && (\star)
> \end{align}
> $$
>
> $\vec a$ est l'entecedent de la limite.

### Remarque

- L'ensemble des points $\vec x = (x, y)$, vérifiant l'integaraglité $(\star)$ est en faite un **disque**.
- On veut donc l'ensemble des points dans le cercle centré en $\vec a$.
- $||\vec x - \vec a||$ correspond à la distance entre $\vec x \equiv (x, y)$ et $\vec a \equiv (a, b)$ définit par la **norme euclidienne** notée:
$$
||\vec x - \vec a|| = \sqrt{(x - a)^2 + (y - b)^2}
$$

### Porpriété

a partir de cette définition, on peut vérifier un grand nombre de propriétés utiles. Celles ci sont résumées dans le [théoreme 1](https://moodle.cri.epita.fr/pluginfile.php/52919/mod_resource/content/3/Partial_Derivatives_fr.pdf) du cours. voir exemple 7 a 9.

### Remarque

On peut approcher un point par un nombre infini de directions. Bien entendu, une limite exist en 2D (ou plus) si et seulement si **toutes** les direction donnent la meme limites.

## Points de bord

Dans le cas ou $b$ limite de $f(x, y)$ est un point de bord, c'est à dire siturer sur la **frontier** du dommaine e definition de $f$, il faut s'assurer que les points du distque de la définition précédente fasse egalement partie du dommaine de $f$. -> voire [définition 6]().

## Continuite

> ### Défintion
>
> un fonction est continue en $(a, b)$ de son dommaine si:
>
> 1) $f(a,b)$ exist
> 2) $\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y)$ exist
> 3) $\lim_{(x, y) \to (a, b)} f(x, y) = f(a,b)$

### Exemple

Considérons:

$$
f(x, y) = \frac{2x + 2y}{x+y+1}
$$

cette fonction est-elle continue en $(5,-3)$ ?

1) est vérifiée puisque $f(5, -3) = 3$
2) On a $(3x + 2y) \limto{(x, y) \to (5, -3)} 9$ et $x + y + 1 \limto{(x, y) \to (5, -3)} 3$. Donc la limit exist
3) les deux caleurs optenue sont identiques donc la condition $(3)$ est vérifié

### Propriété

La continuité avec des function a plusieur variable vérifi que:

- la somme de 2 fonctions continues est continue
- le produit $w(x,y) = u(x) v(y)$ est continue si $u$ et $v$ sont continues.
- la composition $w(x,y) = f \circ g$ avec $f(x)$ et $g(x,y)$ des fonctions continues est continue.

## En 3D

en dimmession 3 on garde la meme définition qu'en 2D, mais au lieux de disque, on parle de **boule** de rayon $\delta$ pour un voisinage d'un points $(x_0, y_0, z_0)$.

On utilisera le terme **boule** dans toutes les dimension supérieur.

En dimensions supérieures, il est simple de de généraliser puisqu'il suffit d'étendre la notion de norme euclidienne sous la forme.

$$
|| \vec x - \vec a || = \sqrt{\sum_{i=1}^n (x_i - a_i)^2}
$$

Il exist d'autre norme que la norme euclidienne ([voir appendice du cours]()) en fontion du type de problème à résoudre.