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title: "fpva - Cours 3 : La dérivée partielle"
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# Fonction à plusieurs variables - Cours 3 : La dérivée partielle

++**Définition**++ : La dérivée partielle d'une focntion $f(x,y)$ par rapport à $x$ est donnée par :
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{\Delta f}{\Delta x}\\
= \lim\limits_{\Delta x \rightarrow 0} \frac{f(x+ \Delta x +y) - f(x,y)}{\Delta x}
$$

Dans cette équation la variable $y$ est traitée comme un paramètre fixe.

++**Remarque**++ :
- La définition est analogue pour $\frac{\partial f}{\partial y}$.
- On emploie aussi la notation :

$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \partial_x f = f_x\\
\frac{\partial f}{\partial y} = \partial_y f = f_y
$$

++**Exemple**++ : On a $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ dont la surface associés est un cône avec sont sommet à l'origine $(0,0)$.

Les dérivées partielles donnent :
$$
\frac{\partial f}{\partial x} = \frac
{x}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{x}{f}\\
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac
{y}{\sqrt{x^2 + y^2}} = \frac{y}{f}
$$

La fonction $f(x,y) = \sqrt{x^2 + y^2}$ est en fait la fonction "distance à l'origine".

A partir de ses dérivées partielles, on peut former des équations différentielles.

Pour une fonction $f(x,y)$ donnée, si l'on fixe l'une ou l'autre de ses variables, on obtient des fonctions partielles :

$$
f(x,y_0) et f(x_0,y)
$$
Ses fonctions sont à une variables eet sont très utiles afin d'étudier la surface $z=f(x,y)$.

++**Exemple**++ : Pour $f(x,y) = x^2 - y^2$ on a :
$f_x =-2x$ et $f_y = 2y$.
Au point $(1,3)$, la fontion partielle $f(x,3) = 9 -x^2$ est une parabole orientée vers le bas.

Ensuite la fonction partielle $f(1,y) = y^2 - 1$ correspond à une parabole orientée vers le haut.

En fait la surface $z=f(x,y)$ est une "paraboloïde hyperbolique" dont les niveaux sont des hyperboles.

Une telle configuration est communément appelé "un col" ou "un point-selle".

La dérivée seconde ne présente pas de difficultées particulière puisqu'il suffit de répéter l'opération. $\frac{\partial }{\partial x}$ ou $\frac{\partial }{\partial y}$ sur $f_x$ ou $f_y$.

On a donc $f_xx = \frac{\partial^2 f}{\partial x^2}$, $f_yy = \frac{\partial^2 f}{\partial y^2}$ et $\frac{\partial^2 f}{\partial x \partial y} = \frac{\partial^2 f}{\partial y \partial x}$ soit $f_xy = f_yx$.

Ce dernier résultat est formellement connu sous le nom de théorème de Schwartz. Ce théorème est vérifié si les dérivées secondes sont des fonctions continues.

Selon le contexte les dérivées secondes peuvent avoir une interprétation physique (voir exemple 21).