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# System prepended metadata

title: 'folo - TD 3 : Probas et Dénombrement'
tags: [' MiMos', folo, ' cours']

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title: "folo - TD 3 : Probas et Dénombrement"
tags: folo, cours, MiMos
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$$
\newcommand{\vt}[3]{
  \begin{pmatrix}
    {#1} \\
    {#2} \\
    {#3}
  \end{pmatrix}
}
\newcommand{\limto}[1]{\xrightarrow[#1]{}}
$$

# FoLo - TD 3 : Probas et Dénombrement

[`video`](url_video)
[`cours`](url_cours)
[`slides`](url_slides)

## Exercice 1
1. Nous avons 10 amis et nous voulons en inviter 5. Nous avons donc à choisir 5 parmis 10 amis.
$$
\begin{align}
\binom{5}{10} &= \frac{10!}{5!(10-5)!} \\
&= \frac{10 \times 9 \times 8 \times 7 \times 6 \times 5!}{5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 5!} \\
&= 9\times 2 \times 7 \times 2 \\
&= 252
\end{align}
$$
2. Nous faisons d'abord une disjonction de cas :
- Si les deux amoureux sont invités :
$$
\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56
$$
- Si les deux amoureux ne sont pas invités :
$$
\binom{8}{5} = \frac{8!}{5!(8-5)!} = 56
$$
On a donc :
$$
\binom{8}{3} + \binom{8}{5} = 56 + 56 = 112
$$
3. Si l'on suppose que les deux amis sont invités ensemble :
$$
\binom{8}{3} = \frac{8!}{3!(8-3)!} = 56
$$
On retranche donc ce résultat avec $\binom{10}{5}$:
$$
\binom{5}{10} - \binom{8}{3} = 252 - 56 = 196
$$
## Exercice 2
1. On prend un pièce au hasard dans la boite et on la lance. Quel est la probabilité d'obtenir une face ? Soit les evenements suivant :
- $F$ : obtenir un coté face
- $C_n$ : choisir un vraie pièce
- $C_f$ : choisir une fausse pièce
$$
\begin{align}
P(F) &= P(F|C_n)\times P(C_n) + P(F|C_f)\times P(C_f)\\
&= \frac{1}{2} \times \frac{2}{3} + 1 \times \frac{1}{3}\\
&= \frac{2}{3}
\end{align}
$$
2. Quel est est la probabilité d'avoir la fausse pièce sachant qu'on a une face ? 
Rappel : Règle de rétroaction : $P(A|B)\times P(B) = P(B|A)\times P(A)