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Title: "Limites et continuité - Cours 2"
tags: fpva, limite et continuité, cours
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# Fonctions à plusieurs variables : Cours 2

## Limites et continuité

- On commence avec la définiton d'une limite pour une fonction $f(x,y)$

++**Définition**++ : On a $\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (a,b)} f(x,y) = L$
- Si $\forall \epsilon > 0$ $\exists \delta > 0$ tel que

$$
|f(x,y) - L| < \epsilon
$$
$\forall (x,y)$ vérifiant

$$
0 < ||\vec{x} - \vec{a}|| < \delta (*)
$$
avec $\vec{x} = (x,y)$ et $\vec{a} = (a,b)$

++Remarque++ : Cette définition est similaire au cas à une seule variable, mais avec quelques différences...

- L'ensemble des points de coordonnées $(x,y)$ vérifiant $(*)$ est en fait un disque.

- $||\vec{x} - \vec{a}||$ correspond à la distance entre les points $\vec{x} = (x,y)$ et $\vec{a} = (a,b)$, elle même défini par la norme euclidienne notée :

$$
||\vec{x} - \vec{a}|| = \sqrt{(x-a)^2 + (y - b)^2}
$$

(mettre les exemples de la définition (7,8 et 9))
- A partir de cette définition, on peut vérifier un grand nombre de propriétés utiles. Celles-ci sont résumé dans le théorème 1 du cours.

++**Théorème 1**++ : Aller voir le cours

++**Remarque**++ : Pour une fonction de 2 variable, on peut approché un point par un nombre ++infini++ de directions. Bien entendu, il existe une limite en D2 (et plus $\dots$) si et seulement si toutes les directions donnent la même limite.

- Dans le cas où la limite de $f(x,y)$ est un point de bord, c'est-à-dire situé sur la frontière du domaine de définition de $f$, il faut s'assurer que les points du disque de la définition précédente fassent également partie du domaine de $f$ (voir def 6).

++**Définition**++ : Une fonction $f(x,y)$ est continue en $(a,b)$ de son domaine si :

- (1) $f(a,b)$ existe
- (2) $\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (a,b)} f(x,y)$ existe
- (3) $\lim\limits_{(x,y) \rightarrow (a,b)} f(x,y) = f(a,b)$

++Exemple++ : Considérons :

$$
f(x,y) = \frac{3x + 2y}{x + y + 1}
$$

Cette fonction est elle continue en (5,3) ?

- (1) est vérifié puisque $f(5,-3) = 3$
- (2) On a $(3x+2y) \rightarrow 9$ et $(x+y+1) \rightarrow 3$ quand $(x,y) \rightarrow (5,-3)$ Donc $f \rightarrow 3$, la condition est vérifié
- (3) Les deux valeurs obtenues sont identiques donc la condition (3) est vérifié.

Avec cette définiton de la continuité on peut vérifier que :
- (1) La somme de fonction continues est continue
- (2) Le produit $w(x,y) = u(x)*v(y)$ est continue si $u$ et $v$ sont continues
- (3) La composition $w(x,y) = f \circ g$ avec $f(x)$ et $g(x,y)$ des fonctions continues, est continue.

En dimension 3, on garde la même définiton qu'en D2, mais au lieu de disque, on parle de ++boule++ de rayon $\delta$ pour un voisinage d'un point $(x_0,y_0,z_0)$.

En dimensions supérieurs, il est simple de généraliser puisqu'il suffit d'étendre la notion de ++norme euclidienne++ sous la forme :

$$
||\vec{x} - \vec{a}|| = \sqrt{\sum_{i=1}^n(x_i -a_i)^2}
$$

- Il existe d'autre normes que la norme euclidienne (voir appendice du cours) que l'on peut choisir en fonction du type de problème à résoudre.