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# System prepended metadata

title: 'Int gen - Cours 1 : subject'
tags: [intg, ' TD']

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title: "Int gen - Cours 1 : subject"
tags: intg, TD
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{%hackmd theme-dark %}

$$
\newcommand{\vt}[3]{
  \begin{pmatrix}
    {#1} \\
    {#2} \\
    {#3}
  \end{pmatrix}
}
\newcommand{\limto}[1]{\xrightarrow[#1]{}}
$$

# Inégrale généralisées et Suite d'integrale - TD : Integrale généralisé

[`TD`](https://moodle.cri.epita.fr/pluginfile.php/52716/mod_resource/content/1/TD_Int%C3%A9grales%20g%C3%A9n%C3%A9ralis%C3%A9es%20suites%20dint%C3%A9grales%20et%20int%C3%A9grales%20%C3%A0%20param%C3%A8tres_v2-4.pdf)

## Exercice n5

### 1)

#### a)

$$
\int_0^{+\infty} \frac 1{1+x^2} dx
$$

La fonction $\frac 1{1+x^2}$ est majoré par $\frac1{x^2}$.

or par Rimman l'integrale $\int_1^{+\infty} \frac 1{x^2} dx$ converge.
donc l'integrale $\int_0^{+\infty} \frac 1{1+x^2} dx$ converge en $+\infty$ et est donc définit.

$$
\int_0^{+\infty} \frac 1{1+x^2} dx = [\arctan(x)]_0^{+\infty} \\
= \lim_{x\to+\infty} \arctan(x) - \arctan(0) \\
$$

or $\lim_{x\to + \infty} = \frac \pi2$

$$
\int_0^{+\infty} \frac 1{1+x^2} dx = \frac \pi2 - 0 = \frac\pi2$
$$

#### b)

**Méthode 1**

$$
\int_0^{+\infty} \frac 1{2+x^2} dx = \\
\int_0^{+\infty} \frac 1{2\left(1+\frac12 x^2\right)} dx = \\
\frac12 \int_0^{+\infty} \frac 1{1+\left(\frac1{\sqrt2} x\right)^2} dx = \\
\frac1{\sqrt2} \frac1{\sqrt2} \int_0^{+\infty} \frac 1{1+\left(\frac1{\sqrt2} x\right)^2} dx = \\
\frac1{\sqrt2} \int_0^{+\infty} \frac {\frac1{\sqrt2}}{1+\left(\frac1{\sqrt2} x\right)^2} dx = \\
\frac1{\sqrt2} \left[\arctan\left(\frac1{\sqrt2}x\right)\right]_0^{+\infty} = \\
\lim_{x\to+\infty} \frac1{\sqrt2} \left(\arctan\left(\frac1{\sqrt2}x\right) - \arctan(0)\right) = \\ 
\frac1{\sqrt2} (\frac\pi2 - 0) = \\
\frac1{\sqrt2}\frac\pi2 = \frac\pi{2^{3/2}} \\
$$

**Méthode 2**

$$
\int_0^{+\infty} \frac 1{2+x^2} dx \\
$$

on fait un changement de variable avec $u = \frac x{\sqrt2} \iff x =u\sqrt2 \iff dx = \sqrt2\ du$.

$$
\int_0^{+\infty} \frac 1{2+x^2} dx = \int_{u(0)}^{u(+\infty)} \frac 1{2+(u(x))^2} du  \\
= \int_{0}^{+\infty} \frac 1{2+(\frac x{\sqrt2})^2} \sqrt2\ du
$$

### 2)

$$
\int_0^{+\infty} \frac {3 + 2x^2}{(1+x^2)(2+x^2)} dx = 
\int_0^{+\infty} \frac 1{1+x^2} dx + \int_0^{+\infty} \frac 1{2+x^2} dx
$$

c'est la some des deux integale precedente donc l'integrale est définit car elle sont tous les 2 définine et sa valeur est égale a la somme des 2:

$$
\int_0^{+\infty} \frac {3 + 2x^2}{(1+x^2)(2+x^2)} dx = \frac\pi2 + \frac\pi{2^{3/2}} = \frac\pi2(1 + \frac1{\sqrt2})
$$

## Exercice n6

### 1)

$$
\int_1^{+\infty} \frac{\sin(x)}{x^{3/2}} dx
$$

:warning: signe non constant.

### 2)

$$
\int_1^{+\infty} \frac{\cos(x)}{\sqrt x} dx
$$

IPP

$f'(x) = \cos(x)$ avec $g(x) = \frac1{c}$

$$
\int_1^{+\infty} \frac{\cos(x)}{\sqrt x} = 
\left[ \frac{\sin(x)}{\sqrt x}\right]_1^{+\infty} - \int_1^{+\infty} \sin(x) (-\frac12) \frac1{x^{2/3}} dx\\
= \left[ \frac{\sin(x)}{\sqrt x}\right]_1^{+\infty} + \int_1^{+\infty}  \frac{\sin(x)}{2x^{2/3}} dx\\
$$

### 3)

$$
\int_1^{+\infty} \cos(x^2) dx
$$